Considera la función cuyo dominio son los enteros positivos definida por .
Observa que si dejamos que asuma valores tan grandes como querramos, los valores de esta función parecen acercarse a un número real entre 2 y 3. .
Para nuestros propósitos, basta con decir que este número es tan importante que se le asigna una notación especial. Definimos el número real como el número al que se acerca cuando tomamos arbitrariamente grande.
La siguiente tabla de valores nos puede dar una idea de cual debe ser el valor de
1 |
2 |
10 |
2.59374246 |
100 |
2.704813829 |
1000 |
2.716923932 |
10000 |
2.718145927 |
100000 |
2.718268237 |
10000000 |
2.718281694 |
Se puede demostrar que es un número irracional, de hecho
Usa lo que conoces de la función exponencial para trazar un esbozo de la gráfica de .
1. Determina el dominio y campo de valores de la función. |
2. Incluye al menos 3 puntos en la gráfica. |
3. Identifica asíntotas horizontales |
4. Determina en que intervalos la función es creciente o decreciente. |
5. ¿Acaso esta función tienen inversa? |
Gracias a la experiencia anterior , sabemos que la función es una función exponencial básica con .Por esta razón su dominio es y su campo de valores . La función es creciente y su gráfica abre hacia arriba, corta el eje en el punto y pasa por los puntos y .
Sin embargo, la grafica no corta el eje de . De hecho, la función tiene la propiedad de que si es suficientemente pequeño, los valores de estan tan cerca a cero como querramos. Es decir la recta es una asintota hotizontal de la gráfica de . Considera ahora , como y , la gráfica de es la reflexión de la gráfica de con respecto al eje . En particular es decreciente, pasa por el punto de corte en el eje y pasa por los puntos y y sus valores están tan cerca de cero como querramos cuando es suficientemente grande.
Visto lo anterior, Para que valores de la función es una función creciente?
Para que valores de la función es una función decreciente?
En esta actividad construirás gráficamente la función inversa de .
En la siguiente aplicacion :
1. Escribe en el rectángulos color verde que está al pie de la página la fórmula y El recuadro para redibujar los datos | ||
2. Al así hacerlo, la aplicación trazará la gráfica de | ||
3. Con el cursor, atrapa y mueve el punto rojo que está sobre el eje de
¿Que relación existe entre
y la gráfica verde que aparece en la pantalla mientras mueves el cursor? Esta aplicación contiene una animación que puede ayudarte a contestar esta pregunta. Para ver la animación puedes repetir tantas veces como desees el siguiente proceso:
|
Considera la función . Usa las propiedades de la inversa para identificar:
1. Dominio y Rango |
2. Tres puntos sobre la gráfica |
3. Asintotas (si alguna) |
4. La conducta final |
5. Intervalos donde es positiva y negativa |
6. Intervalos donde es creciente y decreciente |
Como y son funciones inversas tenemos que si , escribir quiere decir que , osea que es el exponente al que debemos elevar la base para recuperar a Una ecuación logarítmica básica tiene una forma exponencial equivalente.
Llena los espacios en blanco...
Usar las propiedades de logaritmos para establecer que cualquier función exponencial puede expresarse como una contracción o estiramiento de otra función exponencial con otra base.
Observa que como es la inversa de , tenemos que . Este dato, nos lleva a concluir que . De modo que cualquier función exponencial básica puede escribirse como una contracción o estiramiento horizontal de la función .
Para proporcionar un ejemplo concreto: Como sabemos que la gráfica de puede conseguirse realizando una contracción horizontal de la gráfica de por un factor de .
Recuerda ademas las leyes de logaritmos si y son positivos y es un numero real, tenemos que
Las leyes de logaritmos permiten ver que todas las funciones exponenciales básicas pueden expresarse como estiramientos o contracciones horizontales de alguna otra función exponencial básica. En cierto sentido podemos decir que la “base es lo de menos”. Es decir, si es distinto de y distinto de 1, es posible encontrar un número real tal que
Para demostrarlo , primero estableceremos que es posible conseguir un numero real tal que ¿ Cual debe ser ese valor de ?
Veamos.
Aplicando el logaritmo natural a ambos lados de obtenemos: y usando las propiedades del logaritmo, tenemos , despejando por nos quedamos con De modo que usando las propiedades de exponentes podemos ver que
Encuentra el valor de tal que la gráfica de coincida la grafica de