Composición de Funciones
Objetivos:
Al terminar esta experiencia el estudiante podrá:
- Usar las gráficas de
y
para evaluar funciones compuestas
en varios puntos de sus respectivos dominios.
- Explicar como calcular
.
- Establecer la diferencia entre
,
y
.
Para las actividades de esta experiencia, la destreza de lectura de gráficas es absolutamente esencial. Afina esta destreza trabajando sobre la siguiente actividad de calentamiento.
Las gráficas de las funciones
y
se ilustran a continuación
Determina
-
- El dominio de
- El campo de valores de
- El dominio de
- El campo de valores de
En esta actividad trabajaremos con las funciones
y
- Usa la aplicación anterior. Observa que, las casillas de verifación permiten ver u ocultar la gráfica de las funciones
,
y
. Puedes cambiar la fórmula de las funciones
y
moviendo los deslizadores en el extremo superior izquierdo de la pantalla o escribiendo la expresión en la forma
o
en la linea de entrada de la parte de abajo de la pantalla . Usa cualquiera de estos metodos para graficar las funciones
y
- Usa la aplicación para trazar las gráficas de
-
-
- Acaso las funciones
y
son iguales?
Visualizando la composición de funciones.
Para entender mejor como construir la gráfica de
, usarás la aplicación de abajo con las mismas funciones de y del ejemplo anterior.
- Escribe en los rectángulos color verde que están al pie de la página las fórmulas
y
- Pulsa el recuadro para redibujar los datos. Al así hacerlo, la aplicación trazará las gráficas de y . Puedes mover, agrandar o hacer mas peqeña las graficas usando las herramientas en la parte superior de la ventana. De hecho, para propósitos de esta actividad, sería conveniente colocar las gráficas de modo que puedas ver los cuatro cuadrantes así como todos los puntos de intersección entre la parábola y la recta. En este caso, puedes conseguir este efecto poniendo el origen ligeramente por debajo del centro de la ventana.
- Con el cursor, atrapa y mueve el punto rojo que está sobre el eje de .
- Consigue una fórmula en términos de y para la gráfica que aparece en la pantalla.
- Encuentra un polinomio en términos de que represente esta función.
- Esta aplicación contiene una animación que permite visualizar como encontrar
cuando nos dan un valor de y conocemos las gráficas de las funciones
y
. Estudia la animación y realiza la siguiente tarea: Escribe un párrafo en donde le explicas a un compañero el proceso que debe seguir para determinar el valor de
si conoce las gráficas de
y . Para ver la animación puedes repetir tantas veces como desees el siguiente proceso:
- Ir a la primera ventana de la animación, usando el botón
en la parte inferior de la ventana de gráficas...
- Pulsar PLAY para correr la animación.
- Encuentra una fórmula para
. Compara esta función con
y
, trazando la gráfica de
en el mismo sistema de coordenadas. Puedes añadir gráficas a este sistema de coordenadas entrando la fórmula en la barra input en la parte de abajo de la aplicación. (Por ejemplo, para obtener la gráfica de
debes entrar
).
- Encuentra una fórmula para
y para
. Compara sus gráficas.
El siguiente ejercicio hace uso de la destreza que acabas de desarrollar.
Ejercicio:
Usa las gráficas de las funciones
y
ilustradas anteriormente, para completar las siguientes tablas:
¿Cual es el dominio de
? |
|
¿Cual es el dominio de
? |
|
|
-2 |
... |
0 |
... |
-1 |
... |
1 |
... |
2 |
... |
3 |
... |
4 |
... |
5 |
... |
6 |
... |
|
|
|
|
-4 |
... |
-2 |
... |
-1 |
... |
0 |
... |
0.5 |
... |
2 |
... |
4 |
... |
|
... |
|
... |
|
Si realizamos el proceso de la actividad anterior para cada punto del dominio de la función compuesta
obtenemos la gráfica de
. Usa la siguiente aplicación para encontrar la gráfica de
y
, cuando
-
y
-
y
Note que puedes editar las fórmulas para
y
en esta aplicación llevando el cursor hacia las fórmulas respectivas en la parte superior del marco a la izquierda de la pantalla.
Sea
y usa la siguiente aplicación para encontrar la gráfica de
-
.
- ¿Como compara la gráfica de
con la gráfica de
Sean
y
- Encuentra
-
- Una fórmula para
¿Cuál es el dominio de
?
- Encuentra
-
- Una fórmula para
. ¿Cuál es el dominio de
?
Usa la aplicación siguiente para verificar tus respuestas.
Trabaja los siguientes problemas
- Sea
. Considere la función
. Encuentre una funcion
con la propiedad de que
.
- Sean:
y
Halla
- Sean:
y
Halle