Exponentes Racionales y Radicales


Objetivos

Al final de esta lección, debes ser capaz de:
  1. Reescribir un exponente racional en notación radical.
  2. Simplificar una expresión que contiene exponentes racionales.
  3. Usar exponentes racionales para simplificar un exponente radical.

Introducción

En este tutorial se usarán el concepto y propiedades de exponentes discutido anteriormente y se combinará con radicales. Se reescribirán, simplificarán y evaluarán expresiones que contienen exponentes racionales. Es muy importante que recuerde como expresar un número o expresión algebraica usando potencias para usarlos al simplificar exponentes racionales.

Exponentes Racionales

Una expresión exponencial tiene un exponente racional si se representa en la forma:
bm/n
donde m y n son enteros, n0.


Caso especial
Cuando m=1 bm/n = b1/n , las propiedades de exponentes se puede aplicar en una manera bien efectiva:

Si comenzamos con una igualdad, aprendimos en la lección de ResoluciŖn de ecuaciones lineales que al hacer la misma cosa en ambos lados, la expresión que resulta sigue siendo cierto. La tabla siguiente da ejemplos cuando aplicamos este principio con exponentes:
Expresión InicialAcción aplicada en ambos ladosExpresión Final
2 = 2Subido a la 424 = 24
3 = 3Subido a la 29 = 9
a= b1/n Subido a la n an= ( b1/n ) n =b


Asi si a es positiva, tenemos la siguiente equivalencia:
a= b1/n es equivalente a an =b
En otras palabras, cuando se evalúa b1/n se debe preguntar que número a se debe elevar a la n-esima potencia para obtener b. A b1/n se le llama la n-esima raiz de b y tambien se puede expresar como b n

Simplificar Expresiones Numericas

Ejemplo 1:

Encontrar el valor de 4 1 2

Solución:

Paso 1: La pregunta es: 41/2 =?
Paso 2: Usando la equivalencia, se puede reescribir ?2 =? ×?=4
Paso 3: En este caso es fácil saber que al elevar 2 al cuadrado se obtiene 4, es decir, 22 =4, por lo tanto:
41/2 =2

Ejemplo 2:

Encontrar el valor de 64 1 3

Solución:

Paso 1: La pregunta es: 641/3 =?
Paso 2: Usando la equivalencia, se puede reescribir ?3 =? ×? ×?=64
Paso 3: En este caso es fácil saber que al elevar 4 a la tercera potencia se obtiene 64, es decir, 43 =64, por lo tanto:
641/3 =4

Ejemplo 3:

Encontrar el valor de 81 1 4

Solución:

Paso 1: La pregunta es: 811/4 =?
Paso 2: Usando la equivalencia, se puede reescribir ?4 =? ×? ×? ×?=81
Paso 3: En este caso es fácil saber que al elevar 3 a la cuarta potencia se obtiene 81, es decir, 34 =81, por lo tanto:
811/4 =3





Simplificar Expresiones Numericas mas Complicadas

Ahora sabemos cómo manejar las expresiones con potencias racionales de la forma: a 1 n

Para abordar exponentes con potencias racionales de la forma: a m n , m 1 , nuevamente usamos la ley de exponentes

( a b ) c = a b × c

Esta ley nos permite reescribir la expresión como a m n = ( a 1 n ) m = ( a m ) 1 n . Decidimos cual manera de reescribir la expresión nos conviene para simplificarla.

Ejemplo 1:

Encontrar el valor de 16 3 2

Solución:

Paso 1: Reescribir la expresión 16 3 2 = ( 16 1 2 ) 3
Paso 2: Conseguir 16 1 2 :
161/2 =? se puede reescribir como ?2 =16. Pues 42 =16, por lo tanto
161/2 =4
Paso 3: Conseguir 16 3 2

16 3 2 = ( 16 1 2 ) 3 = ( 4 ) 3 = 64


Ejemplo 2:

Encontrar el valor de 32 2 5

Solución:

Paso 1: Reescribir la expresión 32 2 5 = ( 32 1 5 ) 2
Paso 2: Conseguir 32 1 5 :
321/5 =? se puede reescribir como ?5 =32. Pues 25 =32, por lo tanto
321/5 =2
Paso 3: Conseguir 32 2 5

32 2 5 = ( 32 1 5 ) 2 = ( 2 ) 2 = 4







Radicales

Vimos anteriormente que a x1/n se le llama la n-esima raiz de x y tambien se puede expresar como x n


Asi, si x es un número real , p y q números enteros y q es un número entero positivo, entonces:
xp/q = ( x1q ) p = (xq)p
o alternativamente
xp/q = ( xp ) 1q = xp q
En ambos casos, q es el índice del radical o raíz y p es el numerador de la parte exponencial.


Nota: Si x es un número real negativo, xp/q esta definido solo si q es un número entero positivo impar.


Propiedades


Si a y b números reales, m y n números enteros positivos, entonces:
  1. Por las leyes de exponentes, sabemos que (ab) 1n = (a) 1n (b) 1n . Asi, expresando esa misma propiedad con radicales nos da ab n = ( an) ( bn)
  2. Por las leyes de exponentes, sabemos que (ab) 1n = (a) 1n (b) 1n . Asi, expresando esa misma propiedad con radicales nos da ab n = an bn
Acuerdate si n es un número entero positivo par, a y b deben ser positivas pues numeros como -52 no son reales.

Nota: En general para aplicar las leyes de exponentes es mas facil convertir una radical a un exponente: a n = (a) 1n .

Ejemplos

Ejemplo 2:

Encontrar el valor de 64 3

Solución:

Paso 1: La expresion 64 3 se puede escribir con exponentes como 641/3 asi la pregunta ya es: 641/3 =?
Paso 2: Usando la equivalencia, se puede reescribir ?3 =? ×? ×?=64
Paso 3: En este caso es fácil saber que al elevar 4 a la tercera potencia se obtiene 64, es decir, 43 =64, por lo tanto:
641/3 =4

Simplificar Expresiones Algebraicas

En la lección de Leyes de Exponentes, aprendimos varias leyes de exponentes. Esas leyes aplican igualmente a exponentes fraccionarios. Los siguientes ejemplos demuestren como usarlas para simplificar expresiones algebraicas.

Ejemplo 1: Simplificar d2d84, Solución:




Paso 1: Utilizar la propiedad ap·aq=ap+q
d2d84 =d2+84 =d104
Paso 2: Utilizar la propiedad a 4 = a14
d104 = d1014
Paso 3: Utilizar la propiedad (ap)q = ap·q
d1014=d104=d52
Ejemplo 2: Simplificar
w13·w83

Solución:




Paso 1: Utilizar la propiedad a p = a1p
w13·w83 =w1312w813
Paso 2: Utilizar la propiedad (ap)q = ap·q
w1312w813 = w132·w83
Paso 3: Utilizar la propiedad ap·aq=ap+q
w132·w83=w132+83=w556

Presione el boto para practicar ejercicios de leyes de exponentes fraccionarios





Resumen

Ya que has terminado esta lección, debes ser capaz de:

  • Simplificar expresiones numericas con expententes fraccionarios.
  • Simplificar expresiones algebraicas con exponentes fraccionarios usando las leyes de exponentes.