Operaciones con fracciones


Objetivos

Esta lección presenta procesos básicos de fracciones que le permitirán hacer lo siguiente:

  • Hallar el mínimo común denominador de dos fracciones.
  • Sumar y restar fracciones.
  • Multiplicar y dividir fracciones


Suma de fracciones

El sumar fracciones con el mismo denominador resulta sencillo. A estas fracciones se les conoce como fracciones homogéneas.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:


La operación de suma cuando tenemos fracciones homogéneas, consiste simplemente en sumar los numeradores (partes del todo) manteniendo igual las partes que corresponden al todo o sea el denominador.

Sin embargo, si las fracciones son heterogéneas, o sea tienen distintos denominadores el proceso no es tan simple.


Ejemplo:

Podemos visualizar la cantidad que refleja esta suma facilmente. Sin embargo, expresar dicha suma es más dificil.


Si recordamos que las fracciones pueden ser expresadas en múltiples formas, podremos solucionar este problema.

Un método para hallar la solución de 1 2 + 1 3 :

  • Encuentre fracciones equivalentes usando los denominadores posibles


  • Seleccione el denominador común más pequeño a ambas expansiones y exprese las fracciones en términos de su Mínimo Común Denominador (MCD).

  • En este caso el MCD es 6, por lo tanto ambas fracciones pueden ser expresadas con denominador 6.

,

  • Ahora que los dos denominadores son iguales, las dos fracciones se pueden sumar.

Práctica:





Resta de fracciones

El restar fracciones con el mismo denominador resulta sencillo. A estas fracciones se les conoce como fracciones homogéneas

Ejemplo 1:



Ejemplo 2:


La operación de resta cuando tenemos fracciones homogéneas consiste simplemente en restar los numeradores (partes del todo).

Sin embargo, si las fracciones son heterogéneas, o sea tienen distintos denominadores el proceso no es tan simple.


Ejemplo:



Podemos visualizar la cantidad que refleja la diferencia facilmente. Sin embargo, expresar dicha diferencia es más difícil.

De nuevo, si recordamos que las fracciones pueden ser expresadas en múltiples formas, o sea formas equivalentes, podremos solucionar este problema.

Un método para hallar la solución de 1 2 - 1 3 :

  • Encuentre fracciones equivalentes usando los denominadores posibles.

  • Seleccione el denominador común más pequeño a ambas expansiones y exprese las fracciones en términos de su Mínimo Común Denominador (MCD).

,

  • Ahora que los dos denominadores son iguales, las dos fracciones se pueden restar.



Multiplicación de fracciones

Multiplicación de una fracción por un número entero n 1

Ya sabemos que

2 × a = a + a.

es decir,
2 × 4 = 4 + 4 = 8, 2 × 7 = 7 + 7 = 14, etc.

El mismo principio se utiliza en las fracciones.
Por ejemplo, 2 × 1 6 se resuelve de la siguiente manera:

Multiplica el resultado por 2:



Esto es igual a añadir los dos pedazos:



El resultado es 2 6



Que simplificado es 1 3



Similarmente, 3 × a = a + a + a. So 3 × 1 3 puede ser resuelto de la siguiente manera:

Multiplica la fracción por 3:



Esto es igual a añadir los tres pedazos:



El resultado es 3 3



Que simplificado es 1



Esto puede ser generalizado a: k × a b = k 1 × a b = k × a 1 × b = ka b

Multiplicación de una fracción por 1 n

En la sección anterior vimos que:

1 2 × 4 = 1 2 × 4 1 = 4 2 = 2.


Por lo tanto, multiplicar por 1 2 es lo mismo que tomar 1 2 de la cantidad. Podemos usar esto para resolver 1 2 × 2 3 de la siguiente manera:

Primero representamos 2 3 geométricamente:


Entonces tomamos 1 2 de esta cantidad.


Con estos pasos obtenemos: 1 2 × 2 3 = 1 3 .

Esto puede ser generalizado a: a b × 1 n = a × 1 b × n = a bn .

Multiplicación de dos fracciones a b × c d

Si nosotros multiplicamos una cantidad por una fracción ab, ésta puede ser percibida como una combinación de dos pasos anteriores:
Primero, dividimos la cantidad en b partes y entonces la multiplicamos por a.

Por ejemplo, para resolver 23×12, podemos comenzar con 1 2 , dividirlo por 3 y luego multiplicar el resultado por 2 de la siguiente manera:

Se corta el pastel en 2:



Se toma uno de los pedazos:



Ahora se quiere 1 3 de eso. Lo dividimos en tres partes iguales y resulta ser 1 6 de todo el pastel.



Observe la figura




Por lo tanto 1 2 3 = 1 2 × 1 3 = 16.
Entonces se multiplica el resultado por 2:



Esto es igual a sumar los dos pedazos:



El resultado es 2 6



Que al simplificar es 1 3



Por lo tanto 23 × 12 =26 =13.

Para resolver 32 × 23 podemos primero tomar una mitad de dos tercios y luego multiplicar el resultado por 3 de la siguiente manera:

Se corta el pastel en 3:



Se toman dos de los pedazos:



Se quiere 1 2 (la mitad) de esos pedazos



Lo cual es igual a 1 3 del pastel



Por lo tanto, 1 2 × 2 3 = 1 3 .
Ahora se multiplicará por 3:



Esto es igual que añadir los tres pedazos:



El resultado es 3 3



Que al simplificar es 1



Todo este proceso equivale a 32 × 23 =66 =1.

Observando estos ejemplos, se puede generalizar que:

ab×cd =a × cb × d.



División de fracciones

División por n1

De la sección pasada se sabe que:

  • Multiplicar por 12 es lo mismo que dividir por dos o 21.
  • Multiplicar por 13 es lo mismo que dividir por tres o 31.
En general, dividir por n1 es lo mismo que multiplicar por 1n.

Para entender división por 1n, se puede considerar lo siguiente:
  • Si una finca produce 400 plátanos cada 4 cuerdas, entonces produce
    400 ÷ 4 = 100 plátanos por cuerda.
  • Si produce 400 plátanos cada 2 cuerdas,entonces produce 400 ÷ 2 = 200 plátanos por cuerda.
  • Si produce 400 plátanos cada 12 cuerda, entonces hay
    400 ÷ 12 = 800 plátanos por cuerda. Por lo tanto dividir por 12 es lo mismo que multiplicar por 21.
  • Si produce 400 plátanos cada 13 cuerda, entonces hay
    400 ÷ 13 = 1200 plátanos por cuerda. Por lo tanto dividir por 13 es lo mismo que multiplicar por 31.
En general, dividir por 1n es lo mismo que multiplicar por n1
.

División por ab

Tras haber visto que dividiendo por n1 es lo mismo que multiplicar por 1n, y que dividiendo por 1n es lo mismo que multiplicar por n1, llegamos a la siguiente generalización:

Dividir por ab, es lo mismo que multiplicar por ba.

Ejemplos:

23÷32 =23×23 =49

34÷27 =34×72 =218


Práctica:

Resumen

Ahora que hemos terminado esta lección, usted debe saber hacer lo siguiente:

  • Hallar el mínimo común denominador de dos números.
  • Sumar y restar fracciones.
  • Multiplicar y dividir fracciones.