Semejanza de triángulos
Objetivos:
- Reconocer triangulos semejantes.
- Resolver problemas utilizando triangulos semejantes
Recordemos que un triángulo es un polígono que es una porción del plano limitado por tres rectas que
se cortan dos a dos y que tiene tres lados y tres ángulos.
Denotaremos cada ángulo por una letra mayúscula y los lados por letras minúsculas.
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivos de igual medida y sus lados son proporcionales.
El signo de semejanza es :
|
|
Si
y
, entonces
Definición: Dos lados son homólogos si se oponen a ángulos de igual medida.
En la figura anterior, los lados
y
y
y
y
, son homólogos.
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Criterios de semejanza de triángulos
Caso 1. Si tiene dos ángulos respectivamente iguales.
Si
y
entonces
En la siguiente aplicación puedes visualizar este criterio de semejanza moviendo los deslizadores del lado izquierdo.
Los ángulos cambian al mover en forma circular los puntos H e I de color azul.
José Martínez Hernández, Created with
GeoGebra
Caso 2. Si tiene dos lados proporcionales y el ángulo comprendido es igual.
Si
y
entonces
En la siguiente aplicación puedes visualizar este criterio de semejanza moviendo los deslizadores del lado izquierdo.
El ángulo cambia al mover en forma circular el punto H de color azul.
José Martínez Hernández, Created with
GeoGebra
Caso 3. Si tiene sus tres lados proporcionales.
Si
entonces
En la siguiente aplicación puedes visualizar este criterio de semejanza moviendo los deslizadores del lado izquierdo.
José Martínez Hernández, Created with
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Ejemplos
1. En los siguientes triángulos,
si
y
halle
y
Se cumple el caso 1, entonces los triángulos son semejantes y se puede determinar
y
.
En
el lado
corresponde al lado de longitud 4 en
ABC.
En
el lado
corresponde al lado de longitud 3 en
ABC.
En
el lado de longitud 10 corresponde al lado de longitud 5 en
ABC.
Por lo tanto, se tiene la relación:
de donde se tienen la ecuaciones básicas:
y
|
2. Dados los siguientes triángulos, son semejantes?:
Calculamos las proporciones:
las razones correspondientes son iguales, por lo tanto tenemos el caso 3 y se tiene:
|
3. Dado que AB es paralelo a DE y los segmentos AE y BD se intersectan en el punto C, determine si los triángulos ABC y CDE
son semejantes y si los son halle la longitud del lado AC.
Los dos triángulos son rectángulos, por lo tanto tienen un ángulo correspondiente que son
de igual medida, los ángulos α y β son opuestos por el vértice,
por lo tanto son de igual medida y se cumple el caso 1 y por lo tanto se cumple:
y resolviendo para
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Práctica
Presione el boton para practicar ejercicios de semejanza de triángulos.
Resumen
Ahora que has terminado esta lección debes ser capaz de:
- Reconocer las propiedades de los triángulos
- Reconocer triángulos semejantes
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