Representación Gráfica de Relaciones

Objetivos

Al concluir esta lección, debes ser capaz de:

Reconocer si un punto pertenece a la gráfica de una relación.
Hacer la gráfica de algunas relaciones.

Introduccion: El Par Ordenado (a,b) Satisface la Relación

Se dice que (a,b) satisface una relación si al sustituir x=a y y=b en ésta, el enunciado resultante es verdadero. Si el par ordenado satisface la relación se dice que el punto correspondiente a las coordenadas (a,b) en el sistema de coordenadas cartesianas pertenece a la gráfica de la relación.

Pasos para determinar si (a, b) pertenece a la gráfica de una relación

Paso 1: Sustituir $x = a$ y $y = b$ en la relación.

Paso 2: Simplificar.

Paso 3: Determinar si la expresión resultante es cierta.

En caso afirmativo, el punto (a, b) pertenece a la gráfica de la relación.

Si la expresión es falsa, entonces el punto (a, b) no pertenece a la gráfica de la relación.

Ejemplos

Ejemplo 1

Dada la relación

y = 1 - x^{2}

, determine si el punto (2,-3) pertenece a la relación.

Paso 1: Sustituir $x = 2$ y $y = -3$ en la relación.

$- 3 = 1 - {(2)}^{2}$

Paso 2: Simplificar. $\begin{matrix} - 3 & = & 1 - 4 \\ - 3 & = & 3 \end{matrix}$

Paso 3: Determinar si la expresión resultante es cierta.

Sí.

Conclusión: El punto (2, -3) pertenece a la gráfica de la relación.

Conclusión: El punto (2, -3) pertenece a la gráfica de la relación que satisface la formula

Ejemplo 2

Dada la relación

y - 3 x - 5 = 0

, determine si el punto (3,-2) pertenece a su gráfica.

Paso 1: Sustituir $x = 3$ y $y = -2$ en la relación.

$- 2 - 3 (3) - 5 = 0$

Paso 2: Simplificar. $- 16 = 0$

Paso 3: Determinar si la expresión resultante es cierta.

NO.

Conclusión: El punto (3, -2) no pertenece a la grafica de la relación.

Conclusión: El punto (3, -2) no pertenece a la gráfica de la relación.

Práctica

Definiciones

Una gráfica es el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ en el plano $xy$ que satisfacen una relación dada.

Un punto a es un intercepto en x de una relación si el punto (a,0) pertenece a su gráfica.
Nota: Todos los puntos donde y es igual a cero pertenecen al eje de x. Como consecuencia, si el punto (a,0) pertenece a la gráfica y al eje de x entonces es un intercepto con el eje de x o un intercepto en x.

Un punto a es un intercepto en y de una relación si el punto (0,a) pertenece a su gráfica.
Nota: Todos los puntos donde x es igual a cero pertenecen al eje de y. Como consecuencia, si el punto (0,a) pertenece a la gráfica y al eje de y entonces es un intercepto con el eje de y o un intercepto en y.

Pasos para Encontrar la Gráfica de una relación.

Paso 1: Construir una tabla de valores para x .

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$

Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación.

Paso 3: Completar la tabla.

Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy

Haga clic aquí si tiene problemas con el Paso 4.

Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos?

En caso afirmativo, dibuja la gráfica (ubicar la curva de forma adecuada a través de los puntos dados).
Si no, vuelva al paso 1 y añada más valores x en la tabla.

Ejemplos

Ejemplo 1

Construir la gráfica de: $y = - 2 x - 1$

Paso 1: Construir una tabla de valores para x .

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$

Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación.

Si $x = - 2$ , entonces $y = - 2 (- 2) - 1 = 3$

Si $x = - 1$ , entonces $y = - 2 (- 1) - 1 = 1$

Si $x = 0$ , entonces $y = - 2 (0) - 1 = - 1$

Si $x = 1$ , entonces $y = - 2 (1) - 1 = - 3$

Si $x = 2$ , entonces $y = - 2 (2) - 1 = - 5$

Paso 3: Completar la tabla.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$3$	$1$	$-1$	$-3$	$-5$

Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy

Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos?

Ya hay suficientes puntos para reconocer que es es una recta con intercepto en x igual a -0.5 y intercepto en y igual a -1.

Ejemplo 2

Construir la gráfica de: $y = x^{2} - 2$

Paso 1: Construir una tabla de valores para x .

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$

Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación.

Si $x = - 2$ , entonces $y = {(- 2)}^{2} - 2 = 2$

Si $x = - 1$ , entonces $y = {(- 1)}^{2} - 2 = - 1$

Si $x = 0$ , entonces $y = {(0)}^{2} - 2 = - 2$

Si $x = 1$ , entonces $y = {(1)}^{2} - 2 = - 1$

Si $x = 2$ , entonces $y = {(2)}^{2} - 2 = 2$

Paso 3: Completar la tabla.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$2$	$-1$	$-2$	$-1$	$2$

Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy

Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos?

Ya hay suficientes puntos para reconocer que es una parábola con interceptos en x igual a $\sqrt{2}$ y $- \sqrt{2}$ y intercepto en y igual a -2.

Representación Gráfica de otras Expresiones

En la aplicación que se presenta debajo de estas instrucciones, por favor sigue los siguientes pasos:

Mueve las barras correspondientes a los parámetros a, b y c de modo que a = 0, b = 1 y c = 1.
Al hacerlo verán los puntos (x,y) que satisfacen la línea $y = x + 1$ .
Dar un click en la caja rotulada Intersección con el eje X y verás que el valor de x donde y = 0 es x = -1.
Por inspección se ve que el valor de y donde x = 0 es y = 1.
Al poner el 'mouse' encima de la gráfica verás más puntos que satisfacen la relación. Vale notar que, por falta de precisión en los pixeles de la imágen, las coordenadas son aproximadas y no precisas.

Ya que has trabajado con la aplicación, conseguir el intercepto en x, el intercepto en y; además de otros 3 puntos de la gráfica de las siguientes relaciones:

y = 2x + 2.
y = -2x + 3.
y = 3x - 4.
Inventa tus propias relaciones lineales.!

Aplicación Cortesia de www.educaplus.org

Ya queremos explorar gráficas que no son lineales. En la aplicación de arriba, que sigue los siguientes pasos:

Mueve las barras correspondientes a los parámetros a, b y c de modo que a = 1,b = -3 y c = 2.
Al hacerlo verás los puntos (x,y) que satisfacen la (x,y) que satisfacen la parabola $y = x^{2} - 3 x + 2$ .
Dar un click en la caja rotulada Intersección con el eje X y verás que los valores de x donde y = 0 son x = 1 y x = 2.
Por inspección se ve que el valor de y donde x = 0 es y = 2.
Al poner el 'mouse' encima de la gráfica verás más puntos que satisfacen la relación. Vale notar que a veces por falta de precisión en los pixeles del imágen que las coordenadas son aproximadas y no precisas.

Ya que has trabajado con la aplicación, conseguir el intercepto en x, el intercepto en y además y 3 otros puntos de la gráfica de las siguientes relaciones:

$y = x^{2} + 3 x - 4$ .
$y = x^{2} - 5 x + 4$ .
$y = x^{2} + 5 x + 4$ .
Inventa tus propias relaciones cuadráticas

Resumen

Ya que has terminado esta lección, debes ser capaz de:

Reconocer si un punto pertenece a la gráfica de una relación.
Hacer la gráfica de algunas relaciones.