Leyes de los Exponentes


Objetivos

Esta lección presenta los conceptos y destrezas básicas que te permitirán:

  • Entender cada una de las leyes de los exponentes.
  • Aplicar las leyes de los exponentes para simplificar expresiones.

Definición: an=a×a×a×...×a (a multiplicado n veces)

La letra a se llama la base, y a la letra n se le llama la potencia o exponente. La expresión an se lee “a elevada a la n”.

Veamos algunos ejemplos:

23=2×2×2                         (base: 2   exponente: 3)
57=5×5×5×5×5×5×5            (base: 5   exponente: 7)
y6=y×y×y×y×y×y               (base: y   exponente: 6)

Oprime el botón siguiente para practicar la simplificación de expresiones con exponentes.


Las leyes de los exponentes

A la hora de evaluar y simplificar exponentes, utilizamos las Leyes de los Exponentes, una serie de reglas que nos sirven para hallar el valor de una expresión más rápidamente.

Ley #1: am×an=am+n


Ilustración #1: 64 ×62

64=6×6×6×6

62=6×6

64 ×62=(6×6×6×6)(6×6)=(6×6×6×6×6×6)=66
Por tanto, 64 ×62=64+2=66

Ilustración #2: a3 ×a5

a3=a×a×a
a5=a×a×a×a×a.
a3×a5=(a×a×a)(a×a×a×a×a)=(a×a×a×a×a×a×a×a)=a8
Por tanto, a3 ×a5=a3+5=a8

Ejemplo: Halle el valor de c6 ×c7
Solución: Como los exponentes que vamos a multiplicar tienen bases iguales, podemos resolver usando la Ley #1 de los exponentes:
c6 ×c7=c6+7=c13
Ley #2: (a×b)n=an×bn

Ilustración #1: (4×5)3

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:

(4×5)3=(4×5)×(4×5)×(4×5)

Ahora, agrupamos términos semejantes:

=(4×4×4)×(5×5×5)

Finalmente, por la definición de exponente:

=43×53

Ilustración #2: (c×d)4

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:

(c×d)4=(c×d)×(c×d)×(c×d)×(c×d)

Ahora, agrupamos términos semejantes:

=(c×c×c×c)×(d×d×d×d)

Finalmente, por la definición de exponente:

=c4×d4=c4d4

Ejemplo: Halla el valor de (2a)5.
Solución: Por la Ley #2:

(2a)5=(2×a)5=25×a5=32a5
Ley #3: (ab)n=anbn
Ilustración #1: (75)3

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:

(75)3=(75)×(75)×(75)

Ahora, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:

=7×7×75×5×5

Finalmente, aplicamos la definición de exponente:

=7353

Ilustración #2: (pq)5

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:

(pq)5=(pq)×(pq)×(pq)×(pq)×(pq)

Ahora, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:

=p×p×p×p×pq×q×q×q×q

Finalmente, aplicamos la definición de exponente:

=p5q5

Ejemplo: Halle el valor de (3xy)4.
Solución: Por la Ley #3:

(3xy)4=(3×xy)4=34×x4y4=81x4y4

Ley #4: (an)m=an×m
Ilustración #1: (32)5

Expandemos 32:

(32)5=(3×3)5

Entonces, expandemos (3×3)5

(3×3)5=(3×3)×(3×3)×(3×3)×(3×3)×(3×3)
=3×3×3×3×3×3×3×3×3×3

Aplicando la definición de exponente:

=310

Ilustración #2: (d4)2

Expandemos d4:

(d4)2=(d×d×d×d)2

Entonces, expandemos (d×d×d×d)2

(d×d×d×d)2=(d×d×d×d)×(d×d×d×d)
=d×d×d×d×d×d×d×d

Aplicando la definición de exponente:

=d8

Ejemplo: Halle el valor de (5g4)3.
Solución: Por la Ley #4:

(5g4)3=53×(g4)3=125×g4×3=125g12

Ley #5: aman=am-n, a0
Ilustración #1: 3632

Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente:

3632=3×3×3×3×3×33×3

Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.

3×3×3×3×3×33×3=3×3×3×31=3×3×3×3

Finalmente, por la definición de exponente:

3×3×3×3=34

Ilustración #2: r9r8

Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente:

r9r8=r×r×r×r×r×r×r×r×rr×r×r×r×r×r×r×r

Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.

r×r×r×r×r×r×r×r×rr×r×r×r×r×r×r×r=r1=r

Ejemplo: Halle el valor de 8c154c3
Solución: Primero simplificamos los enteros. Por la propiedad multiplicativa de los números racionales:

8c154c3=84×c15c3=2×c15c3

Finalmente, por la Ley #5, hallamos el cociente de los exponentes:

2×c15c3=2×c15-3=2c12

Ley #6: a0=1, a0
Ilustración:

Por la Ley #5, sabemos que

a2a2=a2-2=a0

También sabemos que :

a2a2=a×aa×a=1

Por tanto, a0=1

Ley #7: a-n=1an, a0


Ilustración: a-3

Por la Ley #5 sabemos que
a2a5=a2-5=a-3

También sabemos que:

a2a5=a×aa×a×a×a×a=1a3

Asi a-3=1a3

Oprime el botón siguiente para practicar la simplificación de expresiones con exponentes.


Simplificar expresiones

Se puede aplicar más de una ley a la hora de simplificar expresiones:

Ejemplo #1: Simplificar la expresión (-27y9z63y4z2)2.
  1. Dividimos la fraccion en terminos parecidos.

  2. (-27y9z63y4z2)2=(-273×y9y4×z6z2)2

  3. Simplificamos cada uno de los factores, las dos últimas utilizando la Ley #5:

  4. (-273×y9y4×z6z2)2=(-9×y9-4×z6-2)2=(-9×y5×z4)2

  5. Ahora, usando la Ley #4, elevamos todos los factores dentro del paréntesis por 2 y hallamos los valores.

  6. (-9×y5×z4)2=(-9)2×y5×2×z4×2=81y10z8

Ejemplo #2: Simplifica (2x3)(3x4), expresado solamente con exponentes positivos.
  1. Por la Ley #7 podemos convertir 1x4 en x-4, de tal manera que la expresión quedaría así:

  2. (2×x3)(3×x-4)

  3. Agrupamos terminos parecidos.

  4. (2×3)(x3×x-4)

  5. Ahora por la Ley #1, hallamos el producto de los dos exponentes.

  6. (6)(x3-4)=(6)(x-1)

  7. Como las instrucciones indican que los exponentes deben ser positivos, por la Ley #7, revertimos x-1 a 1x.


  8. (6)(x-1)=(6)(1x)=6x

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Resumen

Esta lección presentó los conceptos y destrezas básicas que te permitirán:

  • Entender cada una de las leyes de los exponentes.
  • Aplicar las leyes de los exponentes para simplificar expresiones.