Objetivos
Esta lección presenta los conceptos y destrezas básicas que te permitirán:
- Entender cada una de las leyes de los exponentes.
- Aplicar las leyes de los exponentes para simplificar expresiones.
Definición: (a multiplicado n veces)
La letra a se llama la base, y a la letra n se le llama la
potencia o exponente. La expresión se lee “a elevada a la
n”.
Veamos algunos ejemplos:
(base: 2 exponente: 3)
(base: 5 exponente: 7)
(base: y exponente: 6)
Oprime el botón siguiente para practicar la simplificación de expresiones con exponentes.
Las leyes de los exponentes
A la hora de evaluar y simplificar exponentes, utilizamos las Leyes de los Exponentes, una serie de reglas
que nos sirven para hallar el valor de una expresión más rápidamente.
Ley #1:
Ilustración #1:
Por tanto,
Ilustración #2:
.
Por tanto,
Ejemplo: Halle el valor de
Solución: Como los exponentes que vamos a multiplicar tienen bases iguales,
podemos resolver usando la Ley #1 de los exponentes:
Ley #2:
Ilustración #1:
Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:
Ahora, agrupamos términos semejantes:
Finalmente, por la definición de exponente:
Ilustración #2:
Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:
Ahora, agrupamos términos semejantes:
Finalmente, por la definición de exponente:
Ejemplo: Halla el valor de .
Solución: Por la Ley #2:
Ley #3:
Ilustración #1:
Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:
Ahora, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:
Finalmente, aplicamos la definición de exponente:
Ilustración #2:
Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:
Ahora, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:
Finalmente, aplicamos la definición de exponente:
Ejemplo: Halle el valor de .
Solución: Por la Ley #3:
Ley #4:
Ilustración #1:
Expandemos :
Entonces, expandemos
Aplicando la definición de exponente:
Ilustración #2:
Expandemos :
Entonces, expandemos
Aplicando la definición de exponente:
Ejemplo: Halle el valor de .
Solución: Por la Ley #4:
Ley #5: ,
Ilustración #1:
Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente:
Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.
Finalmente, por la definición de exponente:
Ilustración #2:
Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente:
Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.
Ejemplo: Halle el valor de
Solución: Primero simplificamos los enteros. Por la propiedad multiplicativa de los números racionales:
Finalmente, por la Ley #5, hallamos el cociente de los exponentes:
Ley #6: ,
Ilustración:
Por la Ley #5, sabemos que
También sabemos que :
Por tanto,
Ley #7: ,
Ilustración:
Por la Ley #5 sabemos que
También sabemos que:
Asi
Oprime el botón siguiente para practicar la simplificación de expresiones con exponentes.
Simplificar expresiones
Se puede aplicar más de una ley a la hora de simplificar expresiones:
Ejemplo #1: Simplificar la expresión .
- Dividimos la fraccion en terminos parecidos.
- Simplificamos cada uno de los factores, las dos últimas utilizando la Ley #5:
- Ahora, usando la Ley #4, elevamos todos los factores dentro del paréntesis por 2 y hallamos los valores.
Ejemplo #2: Simplifica , expresado solamente con exponentes positivos.
- Por la Ley #7 podemos convertir en , de tal manera que la expresión quedaría así:
- Agrupamos terminos parecidos.
- Ahora por la Ley #1, hallamos el producto de los dos exponentes.
- Como las instrucciones indican que los exponentes deben ser positivos, por la Ley #7, revertimos a .
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Resumen
Esta lección presentó los conceptos y destrezas básicas que te permitirán:
- Entender cada una de las leyes de los exponentes.
- Aplicar las leyes de los exponentes para simplificar expresiones.
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