Variación Directa


Objetivos

Al final de esta leccion, debes ser capaz de:

  • Reconcer una relacion de variacion directa
  • Encontrar la formula de una relacion de variacion directa
  • Resolver problemas verbales asociadas con variaciones directas

Introducción

x = Horas Trabajadas 0 1 2 3 4
y = Dólares Ganados 0 3 6 9 12

Si Juan gana $3.00 por hora, la tabla anterior muestra la relación entre las horas trabajadas y el dinero que obtuvo en dólares. En esta tabla, podemos ver que el dinero ganado es igual al producto de las horas trabajadas por 3. Otra manera de decir eso es que la constante de variacion o proporcion es igual o 3. Tambien se ve que con cada aumenta de 1 en x, y aumenta en 3. Otra manera para decir eso es que la razon de cambio es igual a 3. En la aplicacion de abajo, mueve el boton baja constante de variacion a 3. Debes ver que los puntos de la grafica coinciden con los valores en la tabla, que con cada aumenta de 1 en x, y aumenta por 3 y que y = 3 × x.

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Cajas de Leche 0 1 2 3 4
Botellas de Leche 0 4 8 12 16

Si cada caja de leche contienen 4 botellas, la tabla anterior muestra la relación entre el número de cajas de leche y el número de botellas que contienen. En esta tabla, podemos ver que el número de botellas de leche se obtiene multiplicando cajas de leche por 4. En la aplicacion de arriba, mueve el boton baja constante de variacion a 4. Debes ver que los puntos de la grafica coinciden con los valores en la tabla, que con cada aumenta de 1 en x, y aumenta por 4 y que y = 4 × x.



Cantidad de dólares 0 1 2 3 4
Cantidad de galletas que se puede comprar 0 2 4 6 8

Si una galleta cuesta 50 centavos, la tabla anterior muestra la relación entre la cantidad de dólares y la cantidad de galletas que se puede comprar. En esta tabla, podemos ver que la cantidad de galletas se obtiene multiplicando la cantidad de dólares por 2.En la aplicacion de arriba, mueve el boton baja constante de variacion a 2. Debes ver que los puntos de la grafica coinciden con los valores en la tabla, que con cada aumenta de 1 en x, y aumenta por 2 y que y = 2 × x.


En todas estas relaciones, una variable es igual a otra variable multiplicada por una constante distinta de cero. Estas relaciones se conocen como porporciones directas o variaciones directas.



Definición

Dadas dos variables x y y, los enunciados:

    y varía directamente como x,
    y es directamente proporcional a x y
    y es proporcional a x
todos significan que y = kx, para algún número real fijo k. Al número k se le llama la constante de variación o constante de proporcionalidad. El valor de k tambien representa la razon de cambio de la relacion. Es decir, cada aumenta de 1 en x va a corresponder a un aumento de k en y.


Hallando la Fórmula para Relaciones de Variación Directa

Las relaciones de variación directa tienen la forma y = kx donde x y y son variables y k es una constante distinta de cero. La fórmula par una relación de variación directa se puede hallar mediante los siguientes pasos:

Paso 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.

y es directamente proporcional a x significa

y =x

Paso 2: Sustituir las variables conocidas para encontrar k.

Paso 3: Sustituir k y escribir la fórmula.


Ejemplos

Ejemplo 1

u es proporcional a v. Si u = 16 cuando v = 4, escribe la fórmula para la relación entre u y v.

Paso 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.

u es proporcional a v significa

u =v

Paso 2: Sustituir valores conocidos para encontrar k.

16 = 4

k=164=4

Paso 3: Sustituir k y escribir la fórmula.

u =4v


Conclusión: la fórmula para expresar la relación entre u y v es u =4v


Ejemplo 2

p varía directamente como z. Si p = 210 cuando z = 200, escribe la fórmula para expresar la relación entre p y z .

Paso 1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.

p varía directamente como z significa

p = z

Paso 2: Sustituir valores conocidos para encontrar k.

210 = 200

k=210200=1.05

Paso 3: Sustituir k y escribir la fórmula.

p =1.05z


Conclusión: la fórmula que expresa la relación entre p y z es

p = 1.05z



Pasos para Resolver Problemas Simples de Variación Directa

Los problemas simples de variación directa consisten en encontrar una fórmula y verificar lo que sucede con una cantidad cuando cambia otra cantidad del problema.

Paso 1: Encontrar la fórmula.

Paso 2: Identificar variables conocidas y sustituir los valores en la fórmula.

Paso 3: Resolver para la variable desconocida.

Ejemplos

Ejemplo 1

w es directamente proporcional a m. Si w = 42 cuando m = 6, encontrar el valor de m cuando w = 140

Paso 1:

Encontrar la fórmula.

1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.

w es directamente proporcional a m significa

w = m

2: Sustituir valores conocidos para encontrar k.

42 = 6

k=426=7

3: Sustituir k y escribir la fórmula.

w = 7m

Paso 2: Identificar variables conocidas y sustituir los valores en la fórmula.

140 = 7·m

Paso 3: Resolver para la variable desconocida.

m=1407=20

Conclusión: m = 20 cuando w = 140


Ejemplo 2

A varía directamente como b. Si A = 3 cuando b = 8, encontrar el valor de A cuando b = 1000

Paso 1:

Encontrar la fórmula.

1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.

A varía directamente como b significa

A = b

2: Sustituir valores conocidos para encontrar k.

3 = 8

k=38=0.375

3: Sustituir k y escribir la fórmula.

A = 0.375b

Paso 2: Identificar variables conocidas y sustituir los valores en la fórmula.

A = 0.375·1000

Paso 3: Resolver para la variable desconocida

A = 375


Conclusión: A = 375 cuando b = 1000



Pasos para Resolver Problemas Verbales de Variación Directa

Los problemas verbales de variación directa son problemas donde las cantidades involucradas tienen nombres, sin embargo la forma de resolverlos no es diferente a la forma descrita en la sección anterior. Los pasos para resolverlos son los mismos

Paso 1: Encontrar la fórmula.

Paso 2: Identificar variables conocidas y sustituir los valores en la fórmula.

Paso 3: Resolver para la variable desconocida

Ejemplos

Ejemplo 1

El importe del impuesto sobre ventas de un auto nuevo es directamente proporcional al precio de venta del auto, si un auto de $25000 paga $1750 de impuesto sobre ventas. ¿Cuál es el precio de venta de un coche nuevo que tiene un impuesto sobre ventas de $3500?

Paso 1: Encontrar la fórmula

1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.

El importe del impuesto sobre ventas de un auto nuevo es directamente proporcional al precio de venta del auto significa

impuesto sobre ventas = precio de venta

2: Sustituir valores conocidos para encontrar k.

1750 = k 25000

k=175025000=0.07

3: Sustituir k y escribir la fórmula.

impuesto sobre ventas = 0.07· precio de venta

Paso 2: Identificar variables conocidas y sustituir los valores en la fórmula.

3500 = 0.07· precio de venta

Paso 3: Resolver para la variable desconocida

precio de venta = 50000


Conclusión: Un auto nuevo que paga $3,500 en impuesto sobre ventas tienen un precio de venta de $50,000


Ejemplo 2

El costo de una casa en Florida es proporcional al tamaño de la casa. Una casa de 2850 pies cuadrados cuesta $182400, entonces cual es el costo de una casa de 3640 pies cuadrados?

Paso 1: Encontrar la fórmula

1: Traducir el enunciado a una fórmula de variación directa.

El costo de una casa en Florida es proporcional al tamaño de la casa significa

costo = tamaño

2: Sustituir valores conocidos para encontrar k.

182400 = k 2850

k=1824002850=64

3: Sustituir k y escribir la fórmula.

costo = 64 tamaño

Paso 2: Identificar variables conocidas y sustituir los valores en la fórmula.

costo = 64· 3640

Paso 3: Resolver para la variable desconocida

costo = 232960


Conclusión: El costo de una casa de 3640 pies cuadrados en Florida es $232,960



Resumen

Ya que has terminado esta leccion, debes ser capaz de:

  • Reconcer una relacion de variacion directa
  • Encontrar la formula de una relacion de variacion directa
  • Resolver problemas verbales asociadas con variaciones directas