Factorización de Expresiones de Cuadráticas.


Objetivos

Esta lección presenta los conceptos y destrezas básicas que te permitirán:

  • Factorizar expresiones cuadráticas de la forma x2 + bx + c.
  • Factorizar expresiones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c.
  • Reconocer casos especiales que se pueden factorizar a simple vista en este tipo de factores:
    • (ax + b)(ax - b)
    • (ax + b)2
    • (ax - b)2

Introducción.

Si observamos la expresión cuadrática x2+5 x+6 se puede ver fácilmente que no hay un factor común a los tres términos. Sin embargo, en la lección sobre Multiplicación de Expresiones Binomiales usamos la geometría del producto de los lados de un rectángulo para mostrar que x+2x+ 3=x2+5 x+6


Por lo tanto (x + 2)(x + 3) es la factorización de x2 +5x+6 pero las técnicas de factorización son diferentes a las presentadas en la lección sobre Factorización de Expresiones Simples.

Esta lección se centra en los métodos de factorización de expresiones cuadráticas de la forma:

ax2+bx +c


Coeficiente de x2 igual a 1.

En la lección de Multiplicación de Expresiones Binomiales comenzamos con x+a x+b y usamos la geometría del producto de un rectángulo como el que se muestra en la imagen de arriba para convertirlo en x2+ a+bx+ab.

Ahora queremos comenzar con x2+cx+d y convertirlo en una expresión con dos factores de la forma x+a x+b. No siempre existen números reales a y b para hacerlo pero si existieran sabemos que:

  • x2 +cx+d =x+ ax+b y
  • x+ ax+b = x2+ a+bx+ab .
Así, si encontramos a y b tales que a+b=c y ab=d entonces, la factorización de x2+cx+d es (x + a)(x + b).

De aquí podemos obtener el siguiente conjunto de pasos para factorizar expresiones de segundo grado con coeficiente de x2 igual a 1.

Ejemplo 1:

Factorizar x2+7x +12

Solución:

Buscamos a y b que satisfagan:

  • x2 +7x+12 =x+ ax+b y
  • x+ ax+b = x2+ a+bx+ab .

Así, a y b deben satisfacer a + b = 7 y ab = 12:

Paso 1: Buscar todos los pares (a, b) tal que ab = 12:

(12,1), (6,2), (4,3), (-12,-1), (-6,-2), (-4,-3)

Puesto que: x+ax+b= x+bx+a , a y b son intercambiables y no necesitamos ambos (12,1) y (1,12). Uno de ellos es suficiente.

Paso 2: Determinar si uno de estos pares cumple a + b = 7:
 
12+17;6+ 27;4+3=7
              Así que a= 4, b= 3 cumple a + b = 7 y ab = 12. Por lo tanto:

x2 +7x+12=x+ 4x+3

Paso 3: Verificar   x+ 4x+3 =x2+3x+4x +12
x+ 4x+3 =x2+7x+12

Ejemplo 2:

Factorizar x2-4x -21

Solución:

Nota: Para mayor comodidad de nuestro método vamos a reescribir las diferencias como sumas de factores negativos, por lo que el problema se convierte en

x2+-4 x+-21

Buscamos a y b que satisfagan:

  • x2 +(-4)x+(-21) =x+ ax+b y
  • x+ ax+b = x2+ a+bx+ab .

Así, a y b deben satisfacer a + b = -4 y ab = -21.

Paso 1: Buscar todos los pares (a, b) tal que ab = -21:

(21,-1), (-21,1), (7,-3), (-7,3)

Paso 2: Determinar si uno de estos pares cumple que
              a + b = -4:

21+(1) 4;21+14; 7+(3) 4;7+3=4.
              Así que a= -7, b= 3 cumple a + b = -4 y ab = -21.

              Por lo tanto:

x2-4x-21 =x+-7 x+3

Paso 3: Verificar   x+-7 x+3=x2 +4x+-7x +-21
x+-7 x+3=x2 +-4x+ -21


Práctica 1.

Oprime el enlace a continuación para practicar la factorización de expresiones cuadráticas con coeficientes principales igual a 1.


Coeficiente de x2 diferente de 1.

En la lección de Multiplicación de Expresiones Binomiales comenzamos con ax+b cx+d y usamos la geometría del producto de un rectángulo como el que se muestra en la imagen de arriba para convertirlo en acx2+ ad+cbx+bd.

Ahora queremos comenzar con ex2+fx+g y convertirlo en una expresión con dos factores de la forma ax+b cx+d No siempre existen numeros reales a, b, c y d para hacerlo pero si existieran sabemos que:

  • ex2+fx+g = ax+b cx+d
  • ax+b cx+d = acx2+ ad+cbx+bd.
Así, si encontramos a, b, c y d que satisfacen ac = e, ad + cb = f y bd = g entonces, la factorización de ex2+fx+g es (ax + b)(cx + d).

De aquí podemos obtener el siguiente conjunto de pasos para factorizar expresiones de segundo grado con coeficiente de x2 no igual a 1.

Ejemplo 1:

Factorizar: 2x2+11x +5

Solución:

Buscamos a, b, c y d asi que:
  • 2x2+11x+5 = ax+b cx+d
  • ax+b cx+d = acx2+ ad+cbx+bd.
Asi, necesitamos a, b, c y d que satisfagan ac = 2, ad + cb = 11 y bd = 5

Paso 1: Buscar todos los pares (a, c) tal que ac = 2:

(2,1), (1,2), (-2,-1), (-1,-2)

Como: ( ax+ b)(cx+d)(cx+ b)(ax+d)
a y c no son intercambiables y podemos repetir pares, tales como (2,1) y (1,2).

Paso 2: Buscar todos los pares de (b, d) de tal manera que bd = 5:
 
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Como: ( ax+ b)(cx+d)=(cx+ b)(ax+d)
si intercambiamos a y c, no es necesario el intercambio b y d para crear una expresión equivalente.

Como: ax+bcx+d =-ax+-b -cx+-d
no es necesario incluir los dos (x, y) y (-x,-y). Uno de ellos es suficiente.

Paso 3: Sustituye todas las combinaciones de (a, c) y (b, d) para ver si uno satisface ad + cb = 11. No es necesario pero también sustituimos en ax+b cx+d y multiplacomos para verificar que solamente si ad + cb = 11, vamos a tener una expresión igual a 2x2+11x +5.

(a,c) (b,d) ad+cb (ax+b)(cx+d) Producto
(2,1) (5,1) 7 (2x+5)(1x+1) 2x2+7x+5
(1,2) (5,1) 11 (x+5)(2x+1) 2x2+11x+5
(-2,-1) (5,1) -7 (-2x+5)(-1x+1) 2x2+-7x+5
(-1,-2) (5,1) -11 (-x+5)(-2x+1) 2x2+-11x+5

              Solución: 2x 2+11x+5= 2x+1 x+5


Ejemplo 2:

Factorizar: 3x2-5x -12

Solución:

Buscamos a, b, c y d asi que:
  • 3x2-5x-12 = ax+b cx+d
  • ax+b cx+d = acx2+ ad+cbx+bd.
Así, necesitamos a, b, c y d que satisfagan ac = 3, ad + cb = -5 y bd = -12

Paso 1: Buscar todos los pares (a, c) tal que ac = 3:

(3,1), (1,3), (-3,-1), (-1,-3)

Paso 2: Buscar todos los pares de (b, d) de tal manera que bd = -12:  

(12,-1), (6,-2), (4,-3)

Paso 3: Sustituye todas las combinaciones de (a, c) y (b, d) para ver si uno satisface ad + cb = -5.:
No es necesario pero también sustituimos en ax+b cx+d y multiplicamos para verificar que solamente si ad + cb = -5, vamos a tener una expresión igual a 3x2-5x -12

(a,c) (b,d) (ad + cb) (ax+b)(cx+d) Producto
(3,1) (12,-1) 9 (3x+12)(x-1) 3x2+9x -12
(3,1) (6,-2) 0 (3x+6)(x-2) 3x2+0x-12
(3,1) (4,-3) -5 (3x+4)(1x-3) 3x2-5x -12
(1,3) (12,-1) 35 (x+12)(3x-1) 3x2+35x -12
(1,3) (6,-2) 16 (x+6)(3x-2) 3x2+16x-12
(1,3) (4,-3) 9 (x+4)(3x-3) 3x2+9x-12
(-3,-1) (12,-1) -9 (-3x+12)(-1x-1) 3x2-9x-12
(-3,-1) (6,-2) 0 (-3x+6)(-x-2) 3x2+0x-12
(-3,-1) (4,-3) 5 (-3x+4)(-1x-3) 3x2+5x-12
(-1,-3) (12,-1) -35 (-x+12)(-3x-1) 3x2-23x-12
(-1,-3) (6,-2) -16 (-x+6)(-3x-2) 3x2-16x-12
(-1,-3) (4,-3) -9 (-x+4)(-3x-3) 3x2-9x-12

              Solución: 3x2-5 x-12=3x +4x-3



Práctica 2.

Oprime el enlace a continuación para practicar la factorización de expresiones cuadráticas con coeficientes principales diferentes a 1.

Casos Especiales

Algunos casos particulares ocurren frecuentemente en las matemáticas y al reconocer estos casos, se pueden factorizar imediatamente sin necesitar las técnicas anteriores.


Caso # 1: Diferencia de Cuadrados

El producto 2x+32x-3 se puede visualizar con el imagen siguiente para encontrar que 2x+32x-3= 4x2-9.:

En general, ax+bax-b=(ax)2-b2. Así, si tenemos expresiones de la forma (ax)2-b2, su factorización siempre va a ser (ax + b)(ax - b).

Ejemplo 1: Para conseguir la factorización de 4x2-16, organizamos los términos para poder reconcer a y b:
(2x)2-42 (ax)2-b2
asi a = 2, b = 4 y su factorización es (2x + 4)(2x - 4).

Ejemplo 2: Para conseguir la factorización de 9x2-49, organizamos los términos para poder reconcer a y b:
(3x)2-72 (ax)2-b2
asi a = 3, b = 7 y su factorización es (3x + 7)(3x - 7).



Caso # 2: ax+bax+b=ax+b2 : el cuadrado de una suma

En el diagrama siguiente, podemos ver que el producto 3x+43x+4 es igual a 9x2 + 24x + 16


En general, ax+b2=(ax)2+2 abx+b2 así, si tenemos una expresión de la forma (ax)2+2 abx+b2, su factorización siempre va a ser (ax + b)2


Ejemplo 1: Para conseguir la factorización de x2+8x+16, organizamos los términos para poder reconcer a y b:
(1x)2+(2)×(1)×(4)×(x)+42 (ax)2+(2)×(a)×(b)×(x)+b2
asi a = 1, b = 4 y su factorización es (x + 4)2.



Caso # 3: ax-bax-b=ax-b2 : el cuadrado de una diferencia

En el diagrama siguiente, podemos ver que el producto 4x-34x-3 es igual a 16x2 - 24x + 9


En general, ax-b2=(ax)2-2 abx+b2 así, si tenemos una expresión de la forma (ax)2-2 abx+b2, su factorización siempre va a ser (ax - b)2

Ejemplo 1: Para conseguir la factorización de x2-6x+9, organizamos los términos para poder reconcer a y b:
(1x)2-(2)×(1)×(3)×(x)+32 (ax)2-(2)×(a)×(b)×(x)+b2
asi a = 1, b = 3 y su factorización es (x - 3)2.


Ejemplo 2: Para conseguir la factorización de 4x2-4x+1, organizamos los términos para poder reconcer a y b:
(2x)2-(2)×(2)×(1)×(x)+12 (ax)2-(2)×(a)×(b)×(x)+b2
asi a = 2, b = 1 y su factorización es (2x - 1)2.



Práctica 3.

Oprime el enlace a continuación para prácticar la factorización de casos especiales de expresiones cuadráticas

Resumen

Ya que has terminado esta lección, debes tener los conceptos y destrezas b├ísicas que te permitir├ín:

  • Factorizar expresiones cuadráticas de la forma x2 + bx + c.
  • Factorizar expresiones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c.
  • Reconocer casos especiales que se pueden factorizar a simple vista en este tipo de factores:
    • (ax + b)(ax - b)
    • (ax + b)2
    • (ax - b)2