Ecuaciones Cuadráticas


Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

  • Identificar ecuaciones cuadráticas.
  • Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de Factorización.
  • Resolver ecuaciones cuadráticas usando el método de completar al cuadrado.
  • Usar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones cuadráticas.

Introducción

En la aplicación siguiente, dejar la velocidad inicial y el ángulo incial en 60 y oprimir el botón lanzar. La trayectoria del proyectil es una parábola y el proyectil está en la tierra (y = 0) cuando x = 0 (al comienzo) y x = 318.13 (al final). (Si no ves la aplicación, por favor descarga flashplayer aquí).

Aplicación Cortesia de www.educaplus.org

Al cambiar los parámetros iniciales, la trayectoria del proyectil cambia pero siempre es una parábola, así x y y satisfacen la ecuación y=a x 2 + b x + c donde a, b y c son números reales, a0. Los valores de x donde el proyectil tocará la tierra ocurren cuando la altura y = 0. Como consecuencia, son los valores de x que satisfacen a x 2 + b x + c = 0 . Una ecuación que se puede escribir en esta forma se llama una ecuación cuadrática.

En la siguiente aplicación al escoger a = 1, b = -3 y c = 2 resulta la gráfica de la ecuación cuadrática y = x2 - 3x + 2. Los valores de x donde y = 0 se ven al dar un click en la caja rotulada Intersección con el eje. En este caso, nos dice que las soluciones de la ecuacion cuadratica x2 - 3x + 2 = 0 son x = 1 y x = 2.
Cambiar los parámetros a,b y c para ver las soluciones de otras ecuaciones cuadráticas geométricamente.
Es importante observar que a veces hay una solución, a veces 2 soluciones y a veces ninguna solución. Esto significa geométricamente que la gráfica de una ecuación cuadrática puede cortar en el eje de x en dos , una o ninguna ocasión.

Aplicación Cortesia de www.educaplus.org
Ya hemos visto soluciones geométricas de ecuaciones cuadráticas utilizando estas aplicaciones interactivas. Por supuesto podríamos graficar a mano estas ecuaciones y también hallar en muchos casos la solución aproximada o exacta. La próxima lección se dedicará a conseguir soluciones algebraicas mediante diferentes métodos.

Método de factorización

El método de factorización se basa en la siguiente propiedad:

La propiedad del producto cero dice:

AB = 0 si y solo si A=0 ó B=0

Lo que significa que si el producto de dos números es cero, entonces alguno de ellos o ambos son iguales a cero.

Para resolver una ecuación cuadrática con el método de factorización, seguiremos los siguientes pasos:
  1. Escribir la ecuación en forma a x 2 + b x + c = 0 .
  2. Factorizar. (Si has olvidado como factorizar, haz click Aqui)
  3. Haciendo uso de la propiedad del producto cero, igualar cada factor a cero y resolver para x.
  4. Verificar la solución.

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12

Solución:

Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.

x 2 + 4 x - 12 = 0

Paso 2: Factorizar

x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0

Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x

x + 6 = 0 x = - 6

x - 2 = 0 x = 2

Paso 4: Verificar la solución.

Verificar x=-6

x 2 + 4 x - 12 = 0 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) - 12 = 0 36 - 24 - 12 = 0 0 = 0

Verificar x=2

x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0


Ejemplo 2:

Resolver la siguiente ecuación 2 x 2 - 3 = 5 x

Solución:

Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.

2 x 2 - 5 x - 3 = 0

Paso 2: Factorizar

2 x 2 - 5 x - 3 = 0 ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) = 0

Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x

2 x + 1 = 0 2 x = - 1 x = - 1 2

x - 3 = 0 x = 3

Paso 4: Verificar la solución.

Verificar x=-1/2

2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( - 1 2 ) 2 - 3 = 5 ( - 1 2 ) 2 ( 1 4 ) - 3 = 5 ( - 1 2 ) 1 2 - 3 = - 5 2 - 5 2 = - 5 2

Verificar x=3

2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( 3 ) 2 - 3 = 5 ( 3 ) 2 ( 9 ) - 3 = 15 18 - 3 = 15 15 = 15




Completar al Cuadrado

Recuerde que un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma:

x 2 + 2 x y + y 2

o la forma

x 2 - 2 x y + y 2

Recordemos que un trinomio cuadrado perfecto se factoriza fácilmente así

x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2

o

x 2 - 2 x y + y 2 = ( x - y ) 2

La idea del método de completar al cuadrado es agregar una cantidad constante a una expresión para convertirla en un trinomio cuadrado perfecto.

Así, para convertir la expresión x 2 + bx a un cuadrado perfecto se debe agregar ( b 2 ) 2 .

De esta forma, la expresión será factorizada así x 2 + bx + ( b 2 ) 2 = ( x + b 2 ) 2 .

Por otro lado, recordemos que para preservar el balance de una ecuación, si agregamos o restamos una cantidad determinada a un lado de la ecuación, debemos agregar o restar la misma cantidad al otro lado de la ecuación

Ahora estamos listos para resolver las ecuaciones cuadráticas completando al cuadrado. Para ello seguiremos los siguientes pasos:

  1. Dejar los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuación y llevar el término independiente al lado derecho de la ecuación.
  2. Si la variable x 2 tiene un coeficiente diferente de 1, dividir cada término de la ecuación por dicho coeficiente.
  3. Completar al cuadrado, teniendo en cuenta que se debe sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación.
  4. Resolver la ecuación, teniendo en cuenta que si ( x - b 2 ) 2 = C entonces x - b 2 = ± C .

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x - 32 = 0

Solución:

Paso 1: Dejar los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuación y llevar el término independiente al lado derecho de la ecuación.

x 2 + 4 x = 32


Paso 2: Si la variable x 2 tiene un coeficiente diferente de 1, dividir cada término de la ecuación por dicho coeficiente.

En este caso el coeficiente de la variable x 2 ya es igual a 1.


Paso 3: Completar al cuadrado, teniendo en cuenta que se debe sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación.

x 2 + 4 x = 32 x 2 + 4 x + ( 4 2 ) 2 = 32 + ( 4 2 ) 2 ( x + 4 2 ) 2 = 32 + 4 ( x + 2 ) 2 = 36

Paso 4: Resolver la ecuación

( x + 2 ) 2 = 36 x + 2 = ± 36 x + 2 = ± 6

x + 2 = 6 x = 4

x + 2 = - 6 x = - 8

Paso 5: Verificar la solución.

Verificar x=4

x 2 + 4 x - 32 = 0 ( 4 ) 2 + 4 ( 4 ) - 32 = 0 16 + 16 - 32 = 0 0 = 0

Verificar x=-8

x 2 + 4 x - 32 = 0 ( - 8 ) 2 + 4 ( - 8 ) - 32 = 0 64 - 32 - 32 = 0 0 = 0





Ejemplo 2:

Resolver la siguiente ecuación 9 x 2 - 18 x + 5 = 0

Solución:

Paso 1: Dejar los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuación y llevar el término independiente al lado derecho de la ecuación.

9 x 2 - 18 x = - 5


Paso 2: Si la variable x 2 tiene un coeficiente diferente de 1, dividir cada término de la ecuación por dicho coeficiente.

9 x 2 9 - 18 x 9 = - 5 9 x 2 - 2 x = - 5 9


Paso 3: Completar al cuadrado, teniendo en cuenta que se debe sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación.

x 2 - 2 x = 5 9 x 2 - 2 x + ( 2 2 ) 2 = - 5 9 + ( 2 2 ) 2 ( x - 2 2 ) 2 = - 5 9 + 1 ( x - 1 ) 2 = 4 9

Paso 4: Resolver la ecuación

( x - 1 ) 2 = 4 9 x - 2 = ± 4 9 x - 1 = ± 2 3

x - 1 = 2 3 x = 5 3

x - 1 = - 2 3 x = 1 3

Paso 5: Verificar la solución.

Verificar x = 5 3

9 x 2 - 18 x + 5 = 0 9 ( 5 3 ) 2 - 18 ( 5 3 ) + 5 = 0 9 ( 25 9 ) - 30 + 5 = 0 25 - 30 + 5 = 0 0 = 0

Verificar x = 1 3

9 x 2 - 18 x + 5 = 0 9 ( 1 3 ) 2 - 18 ( 1 3 ) + 5 = 0 9 ( 1 9 ) - 6 + 5 = 0 1 - 6 + 5 = 0 0 = 0





Fórmula Cuadrática

La fórmula cuadrática es una generalización del método de completar al cuadrado. Dada la ecuación cuadrática:

a x 2 + b x + c = 0

donde a, b y c son números reales, a 0 .

la fórmula cuadrática es la siguiente:

x = b ± b 2 4 a c 2 a

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente ecuación 2 x 2 - 1 + x = 0

Solución:

Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.

2 x 2 + x - 1 = 0

Paso 2: Identificar las variables correspondientes.

a = 2 , b = 1 , c = 1

Paso 3: Reemplazar los valores en la fórmula y resolver para x

x = b ± b 2 4 a c 2 a

x = 1 ± 1 2 4 ( 2 ) ( 1 ) 2 ( 2 )

x = 1 ± 1 + 8 4

x = 1 ± 9 4

x = 1 ± 3 4

x = 1 + 3 4 x = 2 4 x = 1 2

x = 1 3 4 x = 4 4 x = 1

Paso 4: Verificar la solución.

Verificar x = 1 2

2 x 2 - 1 + x = 0 2 ( 1 2 ) 2 - 1 + ( 1 2 ) = 0 2 ( 1 4 ) - ( 1 2 ) = 0 1 2 - 1 2 = 0 0 = 0

Verificar x = - 1

2 x 2 - 1 + x = 0 2 ( - 1 ) 2 - 1 + ( - 1 ) = 0 2 ( 1 ) - 2 = 0 2 - 2 = 0 0 = 0


Ejemplo 2:

Resolver la siguiente ecuación 2 x - x 2 = 2

Solución:

Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.

- x 2 + 2 x - 2 = 0

Paso 2: Identificar las variables correspondientes.

a = 1 , b = 2 , c = 2

Paso 3: Reemplazar los valores en la fórmula y resolver para x

x = b ± b 2 4 a c 2 a

x = 2 ± 2 2 4 ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 )

x = 2 ± 4 8 2

Como 4 8 = 4 no existe, significa que la ecuación no tiene solución.




Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

  • Identificar ecuaciones cuadráticas.
  • Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización.
  • Resolver ecuaciones cuadráticas usando el método de completar al cuadrado.
  • Usar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones cuadráticas.