Inecuaciones Cuadráticas


Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

  • Hallar la solución de inecuaciones de la forma a x 2 + b x + c < 0 .
  • Expresar la solución de inecuaciones cuadráticas en la forma de intervalo o como conjunto.
  • Trazar en la recta real la solución de inecuaciones cuadráticas.

Introducción

Una inecuación cuadrática es una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥.

En el tutorial de Ecuaciones Cuadráticas, vimos que la gráfica de y= a x 2 + b x + c es una parábola. En el tutorial de Inecuaciones Lineales vimos que ax + b = 0 es la frontera entre ax + b < 0 y ax + b > 0 En esta sección vamos a ver que a x 2 + b x + c = 0 es la frontera entre a x 2 + b x + c < 0 y a x 2 + b x + c > 0.
Para visualizar este concepto, grafiquemos la ecuación y = x 2 + 4 x - 5 al escoger a = 1,b = 4 y c = -5 en la siguiente aplicación:

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Ahora notamos lo siguiente:

  • x 2 + 4 x - 5 = 0 se puede visualizar como los valores de x en la curva y= x 2 + 4 x - 5 donde y = 0. Mirando los interceptos en x, y = 0 cuando x = -5 y x = 1.
  • Los valores de x = -5 y x = 1 dividen el eje de x en 3 partes.
  • Cuando x < -5 los valores de y son positivos asi x 2 + 4 x - 5 >0 . Los puntos se ven en azul.
  • Cuando -5 < x < 1 los valores de y son negativos asi x 2 + 4 x - 5 <0 . Los puntos se ven en rojo.
  • Cuando x > 1 los valores de y son positivos asi x 2 + 4 x - 5 >0 . Los puntos se ven en azul.
Como conclusión, podemos ver que x 2 + 4 x - 5 = 0 es la frontera entre x 2 + 4 x - 5 < 0 y x 2 + 4 x - 5 > 0 .

Usar la aplicación de arriba para encontrar los valores de x consistentes con:
  1. x 2 + 6 x - 7 = 0 , x 2 + 6 x - 7 < 0 y x 2 + 6 x - 7 > 0
  2. x 2 - 3 x - 10 = 0 , x 2 - 3 x - 10 < 0 y x 2 - 3 x - 10 > 0
  3. x 2 - 6 x + 8 = 0 , x 2 - 6 x + 8 < 0 y x 2 - 6 x + 8 > 0


Veamos otro caso. Consideremos la gráfica de la ecuación y = 3 x 2 + x + 2 . Para ello escogemos a = 3, b = 1 y c = 2 en la gráfica de arriba.
Si nos piden resolver la siguiente inecuación: 3 x 2 + x + 2 > 0 , la solución la conforman todos los valores de x que hacen que la desigualdad sea cierta. En este caso, para todos los valores de x, la inecuación es cierta ya que toda la gráfica está por encima del eje x, la solución de esta inecuación es el conjunto de todos los números reales.

En cambio, si nos piden resolver la siguiente inecuación: 3 x 2 + x + 2 < 0 , la solución la conforman todos los valores de x que hacen que la gráfica tenga valores menores o iguales a cero en el eje y, es decir, los valores de x para los cuales la gráfica está por debajo del eje x. Pues ninguno de los valores de x satisface ese criterio, la solución de esta inecuación es el conjunto vacío.


Analicemos un tercer caso. Consideremos la gráfica de la ecuación y = x 2 - 2 x + 1 . Para ello escogemos a = 1, b = -2 y c = 1, la gráfica resultante es:


Este caso es muy parecido al caso anterior, la gráfica está por encima del eje x, sin embargo, toca el eje x en un punto. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 0 , es el conjunto de todos los números reales. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 < 0 , es el conjunto vacío. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 > 0 , es el conjunto de todos los números reales, excepto el punto donde toca el eje x, x=1. La solución de la inecuación x 2 - 2 x + 1 0 , es el punto donde toca el eje x, x=1.

En resumen, para resolver inecuaciones cuadráticas usamos el hecho que un polinomio puede cambiar de signo solo en los puntos donde es igual a cero. (O sea los valores de x que hacen que el polinomio sea igual a cero). Entre dos ceros consecutivos, un polinomio es solo positivo o solo negativo. Esto significa que si trazamos estos valores en la recta real, estos puntos dividirán la recta real en intervalos en los cuales el polinomio no tiene cambios de signo. Estos valores son conocidos como puntos críticos de la inecuación y los intervalos que se obtienen se llaman intervalos de prueba.


Método para resolver inecuaciones cuadráticas

Para resolver una inecuación de la forma:

a x 2 + b x + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥, seguiremos los siguientes pasos:

  1. Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que la inecuación quede de la forma a x 2 + b x + c < 0
  2. Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.
  3. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.
  4. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
  5. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:
    • Como intervalo
    • Como conjunto
    • Gráficamente


Ejemplos

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación x 2 + 4 x - 5 0

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general a x 2 + b x + c 0 .

En este caso, la inecuación ya se encuentra escrita en su forma general.


Paso 2: Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.

x 2 + 4 x - 5 = ( x + 5 ) ( x - 1 )

Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

x + 5 = 0 x = - 5

x - 1 = 0 x = 1

Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

Intervalo

Punto de Prueba

Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.

( - , - 5 )

x = -6 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) - 5 = 7

( - 5 , 1 )

x = 0 ( 0 ) 2 + 4 ( 0 ) - 5 = - 5

( 1 , )

x = 2 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 5 = 7

Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser 0 .

La solución se puede expresar de distintas formas:

  • Expresando la solución como conjunto:

    x x -5     ó     x 1

  • Expresando la solución como intervalo

    ( - , - 5 ] [ 1 , )

  • Gráficamente


Ejemplo 2:

Resolver la siguiente inecuación 2 x 2 - x < 6

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general. Para ello necesitamos que el lado derecho de la inecuación sea igual a cero. Aplicando propiedades de desigualdades podemos realizar operaciones para obtener la forma general.

2 x 2 - x < 6 2 x 2 - x - 6 < 6 - 6 2 x 2 - x - 6 < 0


Paso 2: Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.

2 x 2 - x - 6 = ( 2x + 3 ) ( x - 2 )

Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

2x + 3 = 0 x = - 3 2

x - 2 = 0 x = 2

Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

Intervalo

Punto de Prueba

Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.

( - , - 3 2 )

x = -2 2 ( - 2 ) 2 - ( - 2 ) - 6 = 4

( - 3 2 , 2 )

x = 0 2 ( 0 ) 2 - ( 0 ) - 6 = - 6

( 2 , )

x = 3 2 ( 3 ) 2 - ( 3 ) - 6 = 9

Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser < 0 .

La solución se puede expresar de distintas formas:

  • Expresando la solución como conjunto:

    x x < - 3 2     ó     x > 2

  • Expresando la solución como intervalo

    ( - , - 3 2 ) ( 2 , )

  • Gráficamente


Ejemplo 3:

Resolver la siguiente inecuación x 2 - 4 x + 4 > 0

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general.

En este caso, la inecuación ya se encuentra escrita en su forma general.


Paso 2: Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.

x 2 - 4 x + 4 = ( x - 2 ) ( x - 2 )

Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

En este caso solo tenemos un punto de prueba.

x - 2 = 0 x = 2

Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

Intervalo

Punto de Prueba

Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.

( - , 2 )

x = 0 ( 0 ) 2 - 4 ( 0 ) + 4 = 4

( 2 , )

x = 3 ( 3 ) 2 - 4 ( 3 ) + 4 = 1

Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que ambos intervalos cumplen con ser > 0 . Se debe tener en cuenta que en este caso, no debemos incluir en la solución el punto de prueba, ya que en este punto la desigualdad es falsa (es exactamebte igual a cero).

La solución se puede expresar de distintas formas:

  • Expresando la solución como conjunto:

    x x < 2  ó  x > 2

  • Expresando la solución como intervalo

    ( - , 2 ) ( 2 , )

  • Gráficamente



 


Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

  • Hallar la solución de inecuaciones de la forma a x 2 + b x + c < 0 .
  • Expresar la solución de inecuaciones cuadráticas en la forma de intervalo o como conjunto.
  • Trazar en la recta real la solución de inecuaciones cuadráticas.