Ecuaciones Lineales en dos VariablesObjetivosAl concluir esta lección, deberás ser capaz de:
Introducción
Si Juan gana $10.00 por hora, la tabla y gráfica anteriores muestran la relación entre x = las horas trabajadas y y = los dólares que ganó. Cuando el valor de x aumenta en 1, el valor de y siempre aumenta por 10. Asi la razón de cambio es 10 y es constante. Vimos varios ejemplos donde la razón de cambio es constante en la lección sobre Variación Directa. Pues todos esos ejemplos satisfacen y=kx donde k es constante, el punto (x, y) = (0,0) está incluido en todas las relaciones de variacion directa. El siguiente ejemplo es parecido pero el punto (x, y) = (0,0) no está incluido; por lo tanto no es una relación de variación directa.
Si Juan inicia una cuenta en el banco con $20.00 y deposita cada semana $10.00, la gráfica anterior muestra la relación entre x = número de semanas y y = dólares en el banco. Algunas observaciones:
Las relaciones lineales son parecidas a las relaciones de variación directa pues la razón de cambio (pendiente) es constante en ambos pero a diferencia de las relaciones de variación directa, las relaciones lineales pueden incluir el punto (0,k) donde k es distinto de 0. DefinicionesDada una relación entre dos variables
x y y, la relación es lineal si la razón de cambio es constante. I.e., siempre que x aumenta en 1, y siempre aumenta en la misma constante.
Si comenzamos con 15 galletas y una galleta cuesta 20 centavos, la tabla anterior muestra la relación entre x = número de Dólares que gastamos y y = cantidad total de galletas que tenemos. Algunas observaciones:
Haga clic en el siguiente enlace para practicar cómo reconocer relaciones lineales: Razón de cambio y PendientePara que puedas entender mejor el concepto de razón de cambio o pendiente, vamos a aclarar cierta notación especial que se utiliza al hablar de este tema.
En la aplicación de arriba, sigues los siguientes pasos:
Usar la aplicación de arriba para encontrar avances y elevaciones consistentes con pendientes de 3,1,0.5,-0.5 , -1 y -2.
Cuando la pendiente es una fracción, no siempre es conveniente pensar en avance igual a 1. En estos casos, ayuda recordar que . Por ejemplo, considerar que
Applet Cortesia del National Library of Virtual Manipulatives (nlvm.usu.edu).Haga clic en el enlace siguiente para practicar responder a preguntas relacionados con pendientes: Hallando la fórmula para las Relaciones LinealesEjemplos:La siguiente aplicación iteractiva te permitirá y ayudará a encontrar fórmulas para relaciones lineales. Generalización: Considere una recta cuyo intercepto con el eje de y es en b y cuya pendiente es m. Un intercepto en y b significa que cuando x = 0, y = b. Una pendiente m significa que cada vez que x aumenta en 1, y aumenta en m unidades. Comenzando en (0,b) e incrementando y en m unidades cada vez que x aumenta en 1, podemos llenar la siguiente tabla:
Esta misma tabla se puede reescribir expresando y como b más el número de m's que han sido agregados.
Debe quedar claro que los valores de x y y no han cambiado en estas tablas. Sin embargo, en la segunda tabla, podemos ver rápidamente que y = b + algo × m. Esta observación nos permite concluir que ese algo es en realidad x . Así que la relación entre x y y se puede expresar como y = b + m × x. Esta representación
Haga clic en el enlace siguiente para hacer ejercicios relacionados a encontrar la fórmula de relaciones lineales: Gráfica de una Relación LinealEjemplos:Ejemplo 1: Traza la gráfica de la siguiente ecuación lineal y = 3x + 2. Como el intercepto es 2, sabemos que la recta pasa por el punto (0,2) y ya que la pendiente es 3, la recta se eleva 3 unidades por cada unidad que la recta se desplaza a la derecha, como se muestra en la siguiente figura:
Ejemplo 2: Traza la gráfica de la recta que tiene intercepto 1 y pendiente . Como el intercepto es 1, sabemos que la recta pasa por el punto (0,1) y ya que la pendiente es , la recta se eleva unidades por cada unidad que la recta se desplaza a la derecha. Entonces, por cada dos unidades que la recta se desplaza a la derecha, la recta se eleva unidades. Esto es equivalente a decir que por cada dos unidades que la recta se desplaza a la derecha, la recta se eleva 5 unidades, como se muestra en la siguiente figura:
Ejemplo 3: En la aplicación de abajo, sigue los siguientes pasos:
La siguiente aplición interactiva te ayudará a relacionar el enunciado del problema con la gráfica de una relacin y su tabla de valores. Haz click en los siguientes botones para utilizar la aplicación. Haga clic en el siguiente enlace para practicar la identificación de gráficas de relaciones lineales: ResumenAhora que has completado esta lección, eres capaz de:
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