Inecuaciones Lineales en dos Variables


Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

  • Encontrar la solución de una inecuación lineal de la forma a x + b y < c .
  • Graficar la región en el plano que representa la solución de cualquier inecuación lineal en dos variables.

Introducción

Una inecuación en dos variables es una inecuación que puede ser escrita como:

a x + b y < c

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥

donde a, b y c son constantes y x y y son variables. Resolver una inecuación en dos variables consiste en encontrar todos los pares de valores de (x,y) para los cuales se cumple la desigualdad.

Tal como vimos en el tutorial de ecuaciones lineales en una dimensión, cuando intercambiamos el signo de desigualdad por el signo igual, obtenemos una ecuación que viene a ser la frontera de la solución de la desigualdad. Por ejemplo, consideremos la siguiente desigualdad: y < x .

Cambiando el signo < por el signo = obtenemos la ecuación: y = x . La gráfica de esta ecuación es una recta que divide el plano en dos regiones como se muestra en la siguiente figura:

Tomemos un punto cualquiera en la región roja, por ejemplo el punto (1,-1). Donde x=1 y y=-1. Como -1<1, este par de valores satisface la desigualdad: y < x .

Tomemos otro punto en la región roja, por ejemplo el punto (2,1). Donde x=2 y y=1. Como 1<2, este par de valores satisface la desigualdad: y < x .

Trata de encontrar un punto en la región roja tal que y > x . Verás que no es posible conseguir un punto que cumpla esas condiciones.

En conclusión, cualquier punto de la región roja satisface la desiguldad y < x .

Del mismo modo, cualquier punto en la región amarilla, satisface la desiguldad y > x . Compruébalo seleccionando puntos al azar de la región amarilla.

En general, al cambiar el signo de desigualdad por el signo = obtenemos una ecuación de una recta que viene a ser la frontera de la solución de la inecuación.

Oprime el botón de abajo para practicar visualizando como igualdades dividen el plano xy


Método general para resolver inecuaciones lineales en dos Variables

Para resolver una inecuación de la forma:

a x + b y < c

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥, seguiremos los siguientes pasos:

  1. Reemplazar el signo de desigualdad por el signo = a x + b y = c y dividir el plano cartesiano tomando como frontera la recta que representa la ecuación obtenida.
  2. Tomar puntos de prueba en cada región y verificar si satisfacen la desigualdad.
  3. Graficar la solución, teniendo en cuenta que si la desigualdad es ≥ o ≤ la frontera está incluida en la solución, en caso contrario la frontera no está incluida.


Ejemplos

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación x + y < 4

Solución:

Paso 1: Reemplazando el signo de desigualdad por el signo =, obtenemos la siguiente ecuación
x + y = 4 . Para graficar una recta, es suficiente hallar dos puntos. Una forma sencilla de graficar la recta es hallar los interceptos con los ejes:
Para hallar el intercepto con el eje x, hacemos y=0,

x+y = 4 x+ 0 = 4 x = 4


Para hallar el intercepto con el eje y, hacemos x=0,

x + y = 4 0 + y = 4 y = 4


La gráfica de la recta es la siguiente. Esta recta divide el plano en dos regiones R1 y R2.

Paso 2: Tomar puntos de prueba en cada región y verificar si satisfacen la desigualdad.

Punto de prueba en R1 (0,0)

x+y < 4 0 + 0 < 4 0 < 4

Como la expresión es verdadera, entonces esta es la región que representa la solución de la inecuación.

Como ya determinamos la solución, no es necesario seleccionar un punto de prueba en la otra región. Puedes comprobar que cualquier punto en la otra región no satisface la desigualdad.

Paso 2: Graficar la solución. Como el signo de desigualdad es < no se debe incluir la frontera como parte de la solución. Para denotar este hecho gráficamente, utilizaremos lineas discontinuas en la frontera.


Ejemplo 2:

Resolver la siguiente inecuación 2 x + 3 y 6

Solución:

Paso 1: Reemplazando el signo de desigualdad por el signo =, obtenemos la siguiente ecuación
2 x + 3 y = 6 . Para graficar una recta, es suficiente hallar dos puntos. Una forma sencilla de graficar la recta es hallar los interceptos con los ejes:
Para hallar el intercepto con el eje x, hacemos y=0,

2 x + 3 y = 6 2 x + 3 ( 0 ) = 6 2 x = 6 x = 3


Para hallar el intercepto con el eje y, hacemos x=0,

2 x + 3 y = 6 2 ( 0 ) + 3 y = 6 y = 2


La gráfica de la recta es la siguiente. Esta recta divide el plano en dos regiones R1 y R2.

Paso 2: Tomar puntos de prueba en cada región y verificar si satisfacen la desigualdad.

Punto de prueba en R1 (1,1)

2 x + 3 y 6 2 ( 1 ) + 3 ( 1 ) 6 5 6

Como la expresión es falsa, entonces esta región no es solución de la inecuación.

Punto de prueba en R2 (3,4)

2 x + 3 y 6 2 ( 3 ) + 3 ( 4 ) 6 18 6

Como la expresión es verdadera, entonces esta región es la solución de la inecuación.

Paso 2: Graficar la solución. Como el signo de desigualdad es ≥ se debe incluir la frontera como parte de la solución. Para denotar este hecho gráficamente, utilizaremos una linea continua en la frontera.


Ejemplo 3:

Resolver la siguiente inecuación en dos dimensiones x > 2

Solución:

Paso 1: Reemplazando el signo de desigualdad por el signo =, obtenemos la siguiente ecuación
x = 2 . Esta ecuación corresponde a una recta vertical con intercepto en el punto x=3.

Paso 2: Tomar puntos de prueba en cada región y verificar si satisfacen la desigualdad.

Punto de prueba en R1 (0,0)

x > 2 0 > 2

Como la expresión es falsa, entonces esta región no es solución de la inecuación.

Punto de prueba en R2 (3,3)

x > 2 3 > 2

Como la expresión es verdadera, entonces esta región es la solución de la inecuación.

Paso 2: Graficar la solución. Como el signo de desigualdad es > no se debe incluir la frontera como parte de la solución.


 

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Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

  • Encontrar la solución de una inecuación lineal de la forma a x + b y < c .
  • Graficar la región en el plano que representa la solución de cualquier inecuación lineal en dos variables.