Inecuaciones Polinómicas y Racionales


Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

  • Hallar la solución de inecuaciones polinómicas.
  • Hallar la solución de inecuaciones racionales .
  • Expresar la solución de inecuaciones polinómicas y racionales en la forma de intervalo o como conjunto.
  • Trazar en la recta real la solución de inecuaciones polinómicas y racionales.

Inecuaciones Polinómicas

Una inecuación polinómica es una inecuación de la forma:

a n x n + a n - 1 x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥.

Analicemos la gráfica de expresiones polinómicas. Para ello, vamos a utilizar la aplicación de abajo. Esta aplicación permite graficar polinomios de tercer grado. Existen 3 segmentos de recta a la derecha rotulados con las letras a,b y c. Los puntos negros a,b y c son movibles y permiten cambiar las posiciones de los puntos A, B y C en el eje x del plano cartesiano. Estos puntos corresponden a las raices del polinomio, es decir, los puntos donde la expresión es igual a cero.
Inicialmente los tres puntos dividen el eje x en 4 intervalos, donde la gráfica del polinomio está o bien por encima del eje x o por debajo de este. Veamos qué pasa cuando cambiamos la posición de estos puntos.

  1. Mueve los puntos para que a = 2, b = 2 y c = 0. ya que A = B, tenemos una raíz repetida y, en este punto, la gráfica toca el eje x pero no lo cruza. Entonces, aun cuando tenemos tres intervalos, en el segundo y tercer intervalos la gráfica está por encima del eje x, es decir, en ambos intervalos la expresión es >0.
  2. Ahora mueve el punto c a la posición 2, para que a=b=c=2. En este caso tenemos tres raices repetidas y la gráfica solo cruza el eje una vez, es decir, tenemos un intervalo donde la expresión es < 0 y otro donde la expresión es >0.
  3. Jugar con las posiciones de los puntos. Será posible que la gráfica no cruce el eje x?

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Ahora, analicemos la gráfica de polinomios de cuarto grado. Para ello, vamos a utilizar la aplicación de abajo. Inicialmente los cuatro puntos dividen el eje x en 5 intervalos, donde la gráfica del polinomio está o bien por encima del eje x o por debajo de este. Veamos qué pasa cuando cambiamos la posición de estos puntos.

  1. Mueve los puntos para que b=c= 2, a = 4 y d = -1. Como B = C, tenemos una raíz repetida y, en este caso, la gráfica toca el eje x pero no lo cruza. Entonces, tenemos cuatro intervalos, en el segundo y tercer intervalos la gráfica está por debajo del eje x, es decir, en ambos intervalos la expresión es < 0.
  2. Ahora mueve los puntos para que b=c=d= 2 y a = 4. Tenemos tres raices repetidas y en este punto la gráfica si cruza el eje x.
  3. Ahora mueve los puntos para que a=b=c=d= 2 . Tenemos cuatro raices repetidas y en este punto la gráfica toca el eje x pero no lo cruza.
  4. Jugar con las posiciones de los puntos.

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En resumen, para resolver inecuaciones polinómicas usamos el hecho que un polinomio puede cambiar de signo solo en los puntos donde es igual a cero. (O sea los valores de x que hacen que el polinomio sea igual a cero). Entre dos ceros consecutivos, un polinomio es solo positivo o solo negativo. Esto significa que si trazamos estos valores en la recta real, estos puntos dividirán la recta real en intervalos en los cuales el polinomio no tiene cambios de signo. Estos valores son conocidos como números críticos de la inecuación, y los intervalos que se obtienen se llaman intervalos de prueba.


Método para resolver Inecuaciones Polinómicas

Para resolver una inecuación polinómica , seguiremos los siguientes pasos:

  1. Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que todo la expresión polinómica quede a un lado de la inecuación y cero en el otro lado.
  2. Factorizar el polinomio. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el polinomio es igual a cero.
  3. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.
  4. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
  5. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:
    • Como intervalo
    • Como conjunto
    • Gráficamente


Ejemplos de Inecuaciones polinómicas

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación x 5 + 2 x 4 < 3 x 3

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que todo la expresión polinómica quede a un lado de la inecuación y cero en el otro lado.

x 5 + 2 x 4 - 3 x 3 < 3 x 3 - 3 x 3 x 5 + 2 x 4 - 3 x 3 < 0


Paso 2: Factorizar el polinomio. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el polinomio es igual a cero.

x 5 + 2 x 4 - 3 x 2 = x 3 ( x 2 + 2 x - 3 ) = x 3 ( x + 3 ) ( x - 1 )


Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

x 3 = 0 x = 0

x + 3 = 0 x = - 3

x - 1 = 0 x = 1

Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo de cada uno de ellos. Para facilitar el cálculo, podemos usar la forma factorizada del polinomio.

Intervalo

Punto de Prueba

Polinomio evaluado en el punto de prueba.

( - , - 3 )

x = -4 ( - 4 ) 3 ( - 4 + 3 ) ( - 4 - 1 ) = ( - 64 ) ( - 1 ) ( - 5 ) = - 320

( - 3 , 0 )

x = -1 ( - 1 ) 3 ( - 1 + 3 ) ( - 1 - 1 ) = ( - 1 ) ( 2 ) ( - 2 ) = 4

( 0 , 1 )

x = 0.5 ( 0.5 ) 3 ( 0.5 + 3 ) ( 0.5 - 1 ) = 0.125 ( 3.5 ) ( - 0.5 ) = - 0.21875

( 1 , )

x = 2 ( 2 ) 3 ( 2 + 3 ) ( 2 - 1 ) = ( 8 ) ( 5 ) ( 1 ) = 40

Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser < 0 .

La solución se puede expresar de distintas formas:

  • Expresando la solución como conjunto:

    x x < -3  ó  0 < x < 1

  • Expresando la solución como intervalo

    ( - , - 3 ] [ 0 , 1 )

  • Gráficamente


Ejemplo 2:

Resolver la siguiente inecuación x - x 3

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que todo la expresión polinómica quede a un lado de la inecuación y cero en el otro lado.

x + x 3 - x 3 + x 3 x 3 + x 0


Paso 2: Factorizar el polinomio. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el polinomio es igual a cero.

x 3 + x = x ( x 2 + 1 )


Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

x = 0

x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1

Este factor nunca puede ser cero, ya que cualquier valor elevado al cuadrado es siempre positivo.

Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo de cada uno de ellos. Para facilitar el cálculo, podemos usar la forma factorizada del polinomio.

Intervalo

Punto de Prueba

Polinomio evaluado en el punto de prueba.

( - , 0 )

x = -1 ( - 1 ) ( ( - 1 ) 2 + 1 ) = ( - 1 ) ( 2 ) = - 2

( 0 , )

x = 1 ( 1 ) ( ( 1 ) 2 + 1 ) = ( 1 ) ( 2 ) = 2

Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior, vemos que el intervalo de la segunda fila cumple con ser 0 .

La solución se puede expresar de distintas formas:

  • Expresando la solución como conjunto:

    x x 0

  • Expresando la solución como intervalo

    [ 0 , )

  • Gráficamente


Ejemplo 3:

Resolver la siguiente inecuación ( x - 4 ) ( x + 2 ) 2 > 0

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que todo la expresión polinómica quede a un lado de la inecuación y cero en el otro lado.

En este caso, ya tenemos un cero en un lado de la inecuación.


Paso 2: Factorizar el polinomio. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el polinomio es igual a cero.

En este caso, el polinomio ya está factorizado.

Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

x - 4 = 0 x = 4

x + 2 = 0 x = - 2

Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

Intervalo

Punto de Prueba

Polinomio evaluado en el punto de prueba.

( - , - 2 )

x = -1 ( - 1 - 4 ) ( - 1 + 2 ) 2 = - 5

( - 2 , 4 )

x = 0 ( 0 - 4 ) ( 0 + 2 ) 2 = - 16

( 4 , )

x = 5 ( 5 - 4 ) ( 5 + 2 ) 2 = 49

Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior, vemos que el tercer intervalo cumple con ser > 0 . Se debe tener en cuenta que en este caso, no debemos incluir en la solución el punto de prueba, ya que en este punto la desigualdad es falsa (es exactamebte igual a cero).

La solución se puede expresar de distintas formas:

  • Expresando la solución como conjunto:

    x x > 4

  • Expresando la solución como intervalo

    ( 4 , )

  • Gráficamente


Inecuaciones Racionales

Recordemos que una expresión racional, es una expresión de la forma:

P ( x ) Q ( x )

Donde P ( x ) y Q ( x ) son polinomios.

Analicemos la gráfica de expresiones racionales. Para ello, vamos a utilizar la aplicación de abajo. Existen 3 segmentos de recta a la derecha de la gráfica rotulados con las letras a,b y c. Los puntos negros a,b y M son movibles y permiten cambiar los valores correspondientes en la expresión:

y = M ( x - a ) ( x - b )

donde a es el intercepto de la gráfica con el eje x (punto A), b es valor donde el denominador es cero y por lo tanto, es el punto donde la expresión no está definida, y M es una constante.

Veamos qué pasa cuando cambiamos la posición de estos puntos.

  1. Mueve los puntos para que a = 2, M=-1 y b = 1. Observemos que en la gráfica se distingue claramente dos secciones separadas por la recta x=1. No es coincidencia que corresponda con el valor de b (puedes mover el valor de b para comprobarlo). Note que la gráfica a la izquierda de la asíntota está enteramente por encima del eje x (tiene valores positivos) y la gráfica a la derecha de la asíntota está por debajo del eje x (tiene valores negativos) hasta exactamente el intercepto, punto en el cual nuevamente se hace positiva.
  2. Mueve los puntos para que a = -2, M=-1 y b = 1. Observemos que la forma de la gráfica ha cambiado, sin embargo los valores en que la gráfica cambia de signo continuan siendo el intercepto y la asíntota (lo que corresponde a los valores de a y b.
  3. Jugar con las posiciones de los puntos para seguir analizando el comportamiento de la gráfica cuando cambian los valores.

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En los ejemplos que discutidos verificamos lo siguiente: en una expresión racional, el signo puede cambiar en los puntos en donde el numerador es cero y cerca de un lugar donde el denominador se hace cero, los puntos críticos de la expresión incluirán tanto los valores donde el numerador se hace cero como los lugares donde el denominador se hace cero. Es importante tener en cuenta que aun cuando los puntos críticos se tratan de la misma forma como límites de los intervalos de prueba, sin embargo, los puntos donde el denominador es cero nunca pueden ser parte de la solución, aun cuando la desigualdad sea ≥ o ≤.


Método para resolver inecuaciones Racionales

Para resolver una inecuación racional, se siguen los siguientes pasos:

  1. Realizar las operaciones necesarias para que todo la expresión racional quede a un lado de la inecuación y cero en el otro lado. Además escribir la expresión racional como un solo cociente.
  2. Factorizar el numerador y denominador. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el numerador y denominador son igual a cero.
  3. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.
  4. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
  5. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta, teniendo en cuenta que los puntos críticos que hacen cero el denominador nunca son parte de la solución. La solución se puede expresar de distintas formas:
    • Como intervalo
    • Como conjunto
    • Gráficamente


Ejemplos de Inecuaciones Racionales

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación x - 2 x + 1 > 0

Solución:

Paso 1: Realizar las operaciones necesarias para que todo la expresión racional quede a un lado de la inecuación y cero en el otro lado. Además escribir la expresión racional como un solo cociente.

En este caso, la expresión racional ya se encuentra al lado izquierdo de la inecuación y el cero en el lado derecho de la inecuación. Además, está expresada como un solo cociente.


Paso 2: Factorizar el numerador y denominador. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el numerador y denominador son igual a cero.

Numerador:

x - 2 Ya está completamente factorizado.

Denominador:

x + 1 Ya está completamente factorizado.


Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

x - 2 = 0 x = 2

x + 1 = 0 x = - 1

Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo de cada uno de ellos. Para facilitar el cálculo, podemos usar la forma factorizada del polinomio.

Intervalo

Punto de Prueba

Expresión racional evaluada en el punto de prueba.

( - , - 1 )

x = -2 - 2 - 2 - 2 + 1 = - 4 - 1 = 4

( - 1 , 2 )

x = 0 0 - 2 0 + 1 = - 2 1 = - 2

( 2 , )

x = 3 3 - 2 3 + 1 = 1 4

Paso 5: La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta, teniendo en cuenta que los puntos críticos que hacen cero el denominador nunca son parte de la solución. En la tabla anterior, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser > 0 .

La solución se puede expresar de distintas formas:

  • Expresando la solución como conjunto:

    x x < -1  ó  x > 2

  • Expresando la solución como intervalo

    ( - , - 1 ) ( 2 , )

  • Gráficamente


Ejemplo 2:

Resolver la siguiente inecuación 1 x 1

Solución:

Paso 1: Realizar las operaciones necesarias para que todo la expresión racional quede a un lado de la inecuación y cero en el otro lado. Además escribir la expresión racional como un solo cociente.

1 x 1 1 x - 1 x - 1 1 x - 1 0 1 - x x 0


Paso 2: Factorizar el numerador y denominador. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el numerador y denominador son igual a cero.

Numerador:

1 - x Ya está completamente factorizado.

Denominador:

x Ya está completamente factorizado.


Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

1 - x = 0 x = 1

x = 0

Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo de cada uno de ellos. Para facilitar el cálculo, podemos usar la forma factorizada del polinomio.

Intervalo

Punto de Prueba

Expresión racional evaluada en el punto de prueba.

( - , 0 )

x = -1 1 - - 1 - 1 = - 2

( 0 , 1 )

x = 0.5 1 - 0.5 0.5 = 2

( 1 , )

x = 2 1 - 2 2 = - 1 2

Paso 5: La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta, teniendo en cuenta que los puntos críticos que hacen cero el denominador nunca son parte de la solución. En la tabla anterior, vemos que el intervalo de la segunda fila cumple con ser 0 . Recuerde que el cero no puede ser parte de la solución.

La solución se puede expresar de distintas formas:

  • Expresando la solución como conjunto:

    x 0 < x 1

  • Expresando la solución como intervalo

    ( 0 , 1 ]

  • Gráficamente


 


Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

  • Hallar la solución de inecuaciones polinómicas.
  • Hallar la solución de inecuaciones racionales .
  • Expresar la solución de inecuaciones polinómicas y racionales en la forma de intervalo o como conjunto.
  • Trazar en la recta real la solución de inecuaciones polinómicas y racionales.