Sucesiones
- Presentada una secuencia de números cada estudiante identificará, sin equivocarse,
aquellas que son sucesiones.
- Dada la fórmula del n-ésimo término de la sucesión, cada estudiante determinará, sin error,
cualquier término de la misma.
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Dada la sucesión, cada estudiante determinará correctamente la fórmula para n-ésimo término de la misma.
Aunque a simple vista podemos pensar que las sucesiones en general, solo consisten en una serie de
números que no tienen ninguna aplicaciĆ³n práctica, lo cierto es que podemos encontrar aplicaciones
de ellas en muchas situaciones de la vida cotidiana.
Por ejemplo: en una competición de tenis, en los intereses bancarios, en las industrias, en los números primos,
en la producción en serie, en la velocidad de un auto, al clavar un clavo, en los minutos (medir el tiempo de algo),
en la crianza de ganado y fenómenos naturales, por ejemplo, el desarrollo de los girasoles.
Podemos definir una sucesión de la siguiente manera.
Definición: (Sucesión)
Es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
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Por ejemplo:
es una sucesión. Cuando hablamos de sucesiones es importante definir la notación utilizada.
Notación: (Sucesión)
Comunmente se denominan los términos de una sucesión como a(x), siendo x el índice,
número que nos indica la posición del término, así:
a(1) = primer término de la sucesión
a(2) = segundo término de la sucesión
a(n) = n-ésimo término de la sucesión
El n-ésimo término de una sucesión es la regla que determina como se calculan los términos de la misma.
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En el ejemplo anterior tenemos que, a(1) = 1, a(2) = 4, a(3) = 9, a(4) = 16. De aqui podemos identificar que existe una relación entre
el índice del término y su valor. Esta viene dada por:
a(n)
O sea, que para encontrar el n-ésimo término de la sucesión debemos identificar el patrón de la misma. Es posible que tan solo se tenga
el n-ésimo término de la sucesión, y a partir de este se nos pida construir la misma. Es importante recalcar que no todas las sucesiones siguen un patrón que pueda determinarse dado el índice, sin embargo, siguen siendo sucesiones. Un
ejemplo de esta es la siguiente:
esta es llamada la sucesión de Fibonacci. Esta lección se enfatizará en las sucesiones que pueden determinarse dado el índice de cada término.
Cuando se habla del
N-ésimo Término de una sucesión nos referimos a la regla o fórmula que rige el patrón que siguen todos los elementos
de la misma. Para encontrar esta fórmula debemos seguir los siguientes pasos:
Encontrando el N-ésimo Término
1. Poner cada término en correspodencia con el número natural correspondiente a su posición en la sucesión.
2. Encontrar la relación entre cada número natural y su pareja de la sucesión.
3. Expresar esta relación como una función cuya variable es n.
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Utilicemos los siguientes ejemplos para tener una idea mas concreta de como encontrar el N-ésimo Término de una sucesión.
- Supongamos que se quiere encontrar el N-ésimo Término de la sucesión:
Para hacer esto seguimos los pasos anteriores.
Encontrando el N-ésimo Término
1. Poner cada término en correspodencia con el número natural correspondiente a su posición en la sucesión.
2. Encontrar la relación entre cada número natural y su pareja de la sucesión.
3. Expresar esta relación como una función cuya variable es n.
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Asi encontramos que el N-ésimo Término de la sucesión provista viene dado por:
- Supongamos que se quiere encontrar el N-ésimo Término de la sucesión:
Para hacer esto seguimos los pasos anteriores.
Encontrando el N-ésimo Término
1. Poner cada término en correspodencia con el número natural correspondiente a su posición en la sucesión.
2. Encontrar la relación entre cada número natural y su pareja de la sucesión.
3. Expresar esta relación como una función cuya variable es n.
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Asi encontramos que el N-ésimo Término de la sucesión provista viene dado por:
- Supongamos que se quiere encontrar el N-ésimo Término de la sucesión:
Para hacer esto seguimos los pasos anteriores.
Encontrando el N-ésimo Término
1. Poner cada término en correspodencia con el número natural correspondiente a su posición en la sucesión.
2. Encontrar la relación entre cada número natural y su pareja de la sucesión.
3. Expresar esta relación como una función cuya variable es n.
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Asi encontramos que el N-ésimo Término de la sucesión provista viene dado por:
Es muy común que se nos pida encontrar un término en particular de una sucesión. Si se nos provee el N-ésimo Término de la sucesión
y se nos pide encontrar un término en particular debemos seguir el proceso de sustitución. Aprendimos a sustitur en la lección (hay que incluirla).
Los siguientes ejemplos pueden ayudarte a refrescar la idea.
- Suponga que el N-ésimo Término de una sucesión viene dado por:
Encuentre el primer, segundo y quinto término.
- Para encontrar el primer término sustituimos en la fórmula dada con
y obtenemos lo siguiente:
- Para encontrar el segundo término sustituimos en la fórmula dada con
y obtenemos lo siguiente:
- Para encontrar el quinto término sustituimos en la fórmula dada con
y obtenemos lo siguiente:
La siguiente aplicación interactiva nos permite ver los primeros siete términos de algunas sucesiones, presiona el siguiente botón para iniciar
la misma.
Aplicaciones desarrolladas con
GeoGebra