Objetivos:
- Identificar las propiedades de un número complejo
- Simplificar raices negativas i
- Simplificar potencias de i
- Identificar y aplicar las operaciones con números complejos.
- Simplificar expresiones con números complejos
Si
entonces
Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales ya que si
en un número par
para todo número real. En esta lección se comenzará el estudio de números no reales que provienen de una raíz par de un número negativo.
Normalmente simplificamos números con raices negativas para que sean un número real multiplicado por i.
Ejemplos |
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Note que la
se encuentra fuera del radical.
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Definición |
Un número imaginario tiene la forma
donde b es un número real.
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Para simplificar potencias de i solamente tenemos que recordar que:
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- si n es par.
- si n es impar.
Ejemplos: Expresar los siguientes sin una potencia. |
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Definición |
Un número complejo tiene la forma
donde a y b son números reales:
se conoce como la parte real y
se conoce como la parte imaginaria.
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Ejemplos :
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Para visualizar números complejos, se usa un plano de coordenadas con un eje horizontal para las partes reales y un eje vertical para las partes imaginarias. Cada punto en ese plano llamado el plano complejo corresponde a un número complejo. Mover el punto
z en la siguiente aplicación para visualizar números complejos:
Suma y Resta de Complejos
Para sumar dos complejos solo hay que sumar sus partes reales y sus partes imaginarias
:
Ejemplos |
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Para la resta de dos complejos restamos las partes reales y las partes imaginarias
Ejemplo |
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Producto de Complejos
El producto de dos números complejos se hace igual que el producto de
expresiones binomiales
Ejemplos |
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Hallar el producto:
Solución:
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Hallar el producto:
Solución:
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Hallar el producto:
Solución:
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Módulo de un Número Complejo.
El valor absoluto o módulo de un número corresponde a la distancia en el plano complejo entre el punto y el origen del plano.
Ejemplos |
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Definición: Argumento: El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el semieje
positivo de abcisas , con la semirrecta que une el origen de coordenadas con su afijo. Dado el número z=a+bi, el
argumento de z es:
Ejemplos |
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Calcular el argumento de z de los siguientes números complejos:
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Conjugado de un Número Complejo
Para dividir dos números complejos necesitamos definir lo que es el conjugado de un número complejo
Definición |
Sea
un número complejo de la forma
, llamaremos el conjugado de al número complejo de la forma
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Ejemplos |
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Nota: Multiplicando un número complejo con su conjugado da el módulo cuadrado.
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División de Complejos
Para el cociente de dos números complejos es encesario introducir una nueva terminología, la cual es muy útil al momento de dividir números complejos, sin embargo iniciemos viendo como seria la division de un complejo sobre un real. Para dividir un complejo sobre un real se hace lo siguiente :
. Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo |
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El conjugado nos permite cambiar dividir por un número complejo a multiplicar por un número complejo y dividir por un número real:
Ejemplos |
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Ahora que terminaste la lección, eres capaz de:
- Identificar las propiedades de un número complejo
- Simplificar raices negativas i
- Simplificar potencias de i
- Identificar y aplicar las operaciones con números complejos.
- Simplificar expresiones con números complejos