Determinantes y Regla Cramer


Objetivos

  • Definir el determinante de una matriz cuadrada
  • Estudiado el procedimiento y dada una matriz, cada estudiante determinará correctamente el determinante de la matriz dada.
  • Haciendo uso de la Regla de Cramer, cada estudiante resolverá correctamente sistemas de ecuaciones lineales 2×2 y 3×3 usando la regla de cramer

Definición de determinante

El determinante de una matriz cuadrada se denota por det(A) o |A|

Determinante de una matriz de orden 1×1

El determinante de una matriz de orden 1×1 donde A = [ a ] es |A| = a

Ejemplo: Si es A = [ -2 ] entonces es det ( A ) = A = -2

Determinante de una matriz de orden 2×2

El determinante de una matriz de orden 2×2 donde A = [ a b c d ] es A = ad - bc

Ejemplo: Calcula el determinante de A

A = [ 1 3 -1 2 ] A = (1)(2) - (3)(-1) = 2 + 3 = 5

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Menores y Cofactores

Sea A una matriz n × n

1. El menor Mij

del elemento aij es el determinante de la matriz obtenida al eliminar la fila i y la columna j de A.

Ejemplo:

En la siguiente matriz: [ 0 2 1 3 -1 2 4 0 1 ]

Los menores son:

M12= | 3 2 4 1 | = (3)(1) - (4)(2) = - 5

M11= | -1 2 0 1 | = (-1)(1) - (2)(0) = - 1

M13= | 3 -1 4 0 | = (3)(0) - (-1)(4) = 4

M21= | 2 1 0 1 | = (2)(1) - (1)(0) = 2

M23= | 0 2 4 0 | = (0)(0) - (2)(4) = - 8

M22= | 0 1 4 1 | = (0)(1) - (1)(4) = - 4

M31= | 2 1 -1 2 | = (2)(2) - (1)(-1) = 5

M32= | 0 1 3 2 | = (0)(2) - (1)(3) = - 3

M33= | 0 2 3 -1 | = (0)(-1) - (2)(3) = - 6

2. El cofactor Aij del elemento aij es Aij=(-1)i+jMij (posiciones impares tienen signo negativo mientras que posiciones pares tienen signo positivo).

Ejemplo: los siguientes son algunos cofactores para la matriz del ejemplo anterior.

A11= (-1)1+1 = (+)(-1) = -1

A12= (-1)1+2 = (-)(-5) = 5

A23= (-1)2+3 = (-)(-8) = 8

A12= (-1)1+3 = (+)(4) = 4

A21= (-1)2+1 = (-)(2) = -2

A12= (-1)2+2 = (+)(-4) = -4

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Determinante de una matriz cuadrada

Si A una matriz n × n , el determinante de A es la suma de las entradas en cualquier fila (o columna) de A multiplicadas por sus respectivos cofactores.
Por ejemplo, expandiendo a lo largo de la primera fila:

A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + ... + a 1n A 1n

Ejemplos:

1. Hallar el determinante de la matriz: [ 0 2 1 3 -1 2 4 0 1 ]

Utilizando los resultados hallados anteriormente y la primera fila:

det(A) = A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = 0(-1) + 2(5) + 1(4) = 0+ 10+4 = 14

Podríamos haber utilizado cualquier fila o columna, por ejemplo, usamos la segunda fila:

det(A) = A = a 21 A 21 + a 22 A 22 + a 23 A 23 = 3(-2) + -1(-4) + 2(8) = -6+4+16 = 14

Nota: No necesitamos hallar los cofactores de entradas igual a cero, por lo que usualmente es mejor elegir la fila o columna con la mayor cantidad de ceros

2. Hallar el determinante de la matriz: [ 0 -1 3 2 0 0 5 3 1 ]

Usamos la segunda fila:

det(A) = A = a 21 A 21 + a 22 A 22 + a 23 A 23 = 2 ( A 21 ) + 0 ( A 22 ) + 0 ( A 23 )
= 2(10) + 0(-15) + 0(5)]
= 2(10)
= 20

Regla de Cramer

Si un sistema de n ecuaciones lineales y n variables x1, ...,xi es equivalente a la ecuación matricial DX = B y si el determinante de D es distinto de cero, entonces la solución del sistema es:

x 1 = | D x 1 | | D | , x 2 = | D x 2 | | D | , ..., x i = | D x i | | D |

donde D x i es la matriz que se obtiene reemplazando la columna que contiene la variable xi por B

Ejemplo 1:

Usar la regla de Cramer para resolver el sistema 2×2:

{ 4 x - 2 y = 10 3 x - 5 y = 11


Solución:

D = [ 4 - 2 3 - 5 ] B = [ 10 11 ]  

El determinante de D es:

| D | = 4 -5 - -2 3 = - 20 + 6 = - 14

D x = [ 10 - 2 11 - 5 ] |Dx|=-5 (10) - (-2)(11) = -50 + 22 = -28 x = -28 -14 = 2
D y = [ 4 10 3 11 ] |Dy|=4(11) - (10)(3) = 44 - 30 = 14 y = 14 -14 = - 1

 

Ejemplo 2:

Usar la regla de Cramer para resolver el sistema 3×3:

{ 2 x -   y - 2 z = - 2 - x +   y +   z =   0   x - 2 y +   z =   8


Solución:

D = [   2 - 1 - 2 - 1   1   1   1 - 2   1 ] B = [ - 2   0   8 ]  

El determinante de D escogiendo la fila 2 es:

| D | = - -1 -5 + 1 4 - 1 -3 = - 5 + 4 + 3 = 2

El determinante de Dx escogiendo la fila 2 es:

D x = [ - 2 - 1 - 2   0   1   1   8 - 2   1 ] |Dx|= -(0)(5) + (1)(14) - (1)(12) = 0 + 14 - 12 = 2 x = 2 2 = 1

El determinante de Dy es:

D y = [   2 - 2 - 2 - 1   0   1   1   8   1 ] |Dy|=-(-1)(14) + (0)(4) - (1)(18)= 14 + 0 - 18 = -4 y = -4 2 = - 2

El determinante de Dz es:

D z = [   2 - 1 - 2 - 1   1   0   1 - 2   8 ] |Dz|= -(-1)(-12) + (1)(18) - (0)(3) = -12 + 18 + 0 = 6 z = 6 2 = 3


Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

  • Definir el determinante de una matriz cuadrada
  • Determinar correctamente el determinante de una matriz .
  • Resolver correctamente sistemas de ecuaciones lineales 2×2 y 3×3 usando la regla de cramer