Determinantes y Regla CramerObjetivos
Definición de determinante El determinante de una matriz cuadrada se denota por det(A) o Determinante de una matriz de orden 1
|
M12= M11= M13= M21= M23= M22= |
M31= M32= M33= |
2. El cofactor Aij del elemento aij es Aij=(-1)i+jMij (posiciones impares tienen signo negativo mientras que posiciones pares tienen signo positivo).
Ejemplo: los siguientes son algunos cofactores para la matriz del ejemplo anterior.
A11= (-1)1+1 = (+)(-1) = -1
A12= (-1)1+2 = (-)(-5) = 5
A23= (-1)2+3 = (-)(-8) = 8
A12= (-1)1+3 = (+)(4) = 4
A21= (-1)2+1 = (-)(2) = -2
A12= (-1)2+2 = (+)(-4) = -4
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Si A una matriz
,
el determinante de A es la suma de las entradas en cualquier fila (o columna) de A multiplicadas por sus respectivos cofactores.
Por ejemplo, expandiendo a lo largo de la primera fila:
Ejemplos:
1. Hallar el determinante de la matriz:
Utilizando los resultados hallados anteriormente y la primera fila:
det(A) =
Podríamos haber utilizado cualquier fila o columna, por ejemplo, usamos la segunda fila:
det(A) =
Nota: No necesitamos hallar los cofactores de entradas igual a cero, por lo que usualmente es mejor elegir la fila o columna con la mayor cantidad de ceros
2. Hallar el determinante de la matriz:
Usamos la segunda fila:
det(A) = | ||
|
Si un sistema de n ecuaciones lineales y n variables x1, ...,xi es equivalente a la ecuación matricial DX = B y si el determinante de D es distinto de cero, entonces la solución del sistema es:
, , ...,
donde es la matriz que se obtiene reemplazando la columna que contiene la variable por B
Ejemplo 1:
Usar la regla de Cramer para resolver el sistema :
Solución:
El determinante de D es:
|Dx|=-5 (10) - (-2)(11) = -50 + 22 = -28 |
|Dy|=4(11) - (10)(3) = 44 - 30 = 14 |
Ejemplo 2:
Usar la regla de Cramer para resolver el sistema :
Solución:
El determinante de D escogiendo la fila 2 es:
El determinante de escogiendo la fila 2 es:
|Dx|= -(0)(5) + (1)(14) - (1)(12) = 0 + 14 - 12 = 2 |
El determinante de es:
|Dy|=-(-1)(14) + (0)(4) - (1)(18)= 14 + 0 - 18 = -4 |
El determinante de es:
|Dz|= -(-1)(-12) + (1)(18) - (0)(3) = -12 + 18 + 0 = 6 |
Ahora que has completado esta lección, eres capaz de: