División de polinomios
Objetivos:
- Dividir un polinomio por un monomio.
- Dividir un polinomio entre otro polinomio.
- Aplicar correctamente el algoritmo de la división.
- Familiarizarse con los teoremas del factor y teorema del resto.
Introducción
En este tutorial se discutirá la división de un polinomio entre un
monomio y la división entre polinomios, conocida como la división
larga. Para dividir polinomios se siguen los mismos pasos y procesos que
se aplican al dividir números.
Teoremas
Teorema del Resto: Si el polinomio
es divisible por
, entonces el resto es el valor
.
Teorema del Factor:
es un cero de de un polinomio
si y
solo si
es un factor de
.
Algoritmo de la división
Si
y
son polinomios, y el grado de
es menor o
igual que el grado de
, entonces existen polinomios únicos
y
,
donde el grado de
es menor que el grado de
. En el caso
especial que
, se dice que
divide exactamente a
y se
tiene:
es llamado el dividendo
se le llama el divisor
se le llama cociente y su grado es igual a la diferencia de los
grados de
y
.
se le llama el resto o residuo.
División de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio, debe seguir los siguientes pasos:
- Aplicar la propiedad distributiva para escribir cada término del
numerador entre el monomio.
- Simplificar las fracciones aplicando propiedades de fracciones y
exponentes.
Ejemplos
1. Dividir
Solución
Paso 1. Aplicar la propiedad distributiva
Paso 2 Simplificar cada fracción
Por lo tanto:
2. Dividir
Solución
Paso 1. Aplicar la propiedad distributiva
Paso 2 Simplificar cada fracción,
Por lo tanto:
División entre polinomios
Para dividir polinomios donde el dividendo y divisor son polinomios con por
lo menos dos términos cada uno, se sugiere los siguientes pasos:
- Represente la división larga, colocando el dividendo dentro de la
caja y el divisor fuera de la caja.
- Divida el primer término del dividendo entre el primer término
del divisor para determinar el primer término del cociente.
- El primer término del cociente obtenido en el paso anterior
multiplíquelo a cada término del divisor y colóquelos debajo de los términos del dividendo y asegúrese que están debajo de términos semejantes.
- Reste el producto anterior de los términos semejantes que aparecen
en la línea superior y se obtiene un nuevo polinomio.
- Repita el proceso con el nuevo polinomio hasta que no se pueda hacer
una división.
Ejemplos
1. Dividir
Solución
Paso 1. Representar en la caja el dividendo y divisor
divisor
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dividendo
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Paso 2 Dividir el primer término del dividendo,
,
entre el primer término del divisor,
, y se obtiene:
y se representa:
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cociente
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Paso 3 Multiplicar
por el divisor:
y se ubican debajo de los términos semejantes
del dividendo
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multiplicando
por el divisor
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Paso 4 Se restan los términos semejantes:
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restando términos semejantes
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y bajando los otros términos del dividendo
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Paso 5 Se repite el proceso con el nuevo polinomio
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cociente
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se divide
por
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se multiplica y resta términos semejantes
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residuo o
resto
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Por el algoritmo de la división se tiene que:
ó
2. Dividir
Solución
Paso 1. Representar en la caja el dividendo y divisor
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inserta el término en
con coeficiente 0
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divisor
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|
dividendo
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Paso 2 Dividir el primer término del dividendo,
,
entre el primer término del divisor,
, y se obtiene:
y se representa:
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|
cociente
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|
Paso 3 Multiplicar
por el divisor:
y se ubican debajo de los términos semejantes del dividendo
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multiplicando
por el divisor
|
Paso 4 Se restan los términos semejantes:
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restando términos semejantes
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y bajando los otros términos del dividendo
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Paso 5 Se repite el proceso con el nuevo polinomio
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cociente
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se divide
por
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se multiplica y resta términos semejantes
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residuo o resto
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Por el algoritmo de la división se tiene que:
ó
3. Dividir
Solución
Este ejercicio se resuelve directamente, indicando los pasos en el mismo
procedimiento:
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cociente
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se divide
por
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se multiplican
y
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se restan y luego se divide
por
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se multiplican
y
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|
se restan y luego se divide
por
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|
|
se multiplican
y
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residuo o resto
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Por el algoritmo de la división se tiene que:
ó
Práctica.
Oprime el enlace a continuación para prácticar la divición de polinomios.
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