División de polinomios


  Objetivos:

  1. Dividir un polinomio por un monomio.
  2. Dividir un polinomio entre otro polinomio.
  3. Aplicar correctamente el algoritmo de la división.
  4. Familiarizarse con los teoremas del factor y teorema del resto.


  Introducción

En este tutorial se discutirá la división de un polinomio entre un monomio y la división entre polinomios, conocida como la división larga.  Para dividir polinomios se siguen los mismos pasos y procesos que se aplican al dividir números.


  Teoremas

       Teorema del Resto: Si el polinomio P(x) es divisible por x-c, entonces el resto es el valor P(c).

      Teorema del Factor: c es un cero de de un polinomio P(x) si y solo si x-c es un factor de P(x).


  Algoritmo de la división

Si P(x) y d(x)0 son polinomios, y el grado de d(x) es menor o igual que el grado de P(x), entonces existen polinomios únicos q(x) y r(x),
P(x) d(x) =q(x)+ r(x) d(x)
donde el grado de r(x) es menor que el grado de d(x).  En el caso especial que r(x)=0, se dice que d(x) divide exactamente a P(x) y se tiene:
P(x)=d(x)q(x)


P(x): es llamado el dividendo
d(x): se le llama el divisor
q(x): se le llama cociente y su grado es igual a la diferencia de los grados de P(x) y d(x).
r(x): se le llama el resto o residuo.


  División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio, debe seguir los siguientes pasos:
  1. Aplicar la propiedad distributiva para escribir cada término del numerador entre el monomio.
  2. Simplificar las fracciones aplicando propiedades de fracciones y exponentes.
Ejemplos

1. Dividir 8x3+4 x2 +6x 2x

Solución

Paso 1.  Aplicar la propiedad distributiva
       8 x3 +4 x2 +6x 2x = 8x3 2x + 4x2 2x + 6x 2x

Paso 2  Simplificar cada fracción
       8x3 2x = 8 2 x3-1 =4 x2

       4x2 2x = 4 2 x2-1 =2x

       6x 2x = 6 2 x1-1 =3

Por lo tanto: 8 x3 +4 x2 +6x 2x =4 x2 +2x+3


2. Dividir 18 x6 y4 -27 x4 y3 +36 x2 y 3 x2 y2

Solución

Paso 1.  Aplicar la propiedad distributiva
       18 x6 y4 -27 x4 y3 +36 x2 y 3 x2 y2 = 18 x6 y4 3 x2 y2 - 27 x4 y3 3 x2 y2 + 36 x2 y 3 x2 y2

Paso 2  Simplificar cada fracción,
       18 x6 y4 3 x2 y2 = 18 3 x6-2 y4-2 =6 x4 y2

       27 x4 y3 3 x2 y2 = 27 3 x4-2 y3-2 =9 x2 y

       36 x2 y 3 x2 y2 = 36 3 x2-2 y1-2 = 12 y

Por lo tanto: 18 x6 y4 -27 x4 y3 +36 x2 y 3 x2 y2 =6 x4 y2 -9 x2 y+ 12 y


  División entre polinomios

Para dividir polinomios donde el dividendo y divisor son polinomios con por lo menos dos términos cada uno, se sugiere los siguientes pasos:
  1. Represente la división larga, colocando el dividendo dentro de la caja y el divisor fuera de la caja.  
  2. Divida el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para determinar el primer término del cociente.
  3. El primer término del cociente obtenido en el paso anterior multiplíquelo a cada término del divisor y colóquelos debajo de los términos del dividendo y asegúrese que están debajo de términos semejantes.
  4. Reste el producto anterior de los términos semejantes que aparecen en la línea superior y se obtiene un nuevo polinomio.
  5. Repita el proceso con el nuevo polinomio hasta que no se pueda hacer una división.
Ejemplos

1.  Dividir x3 - x2 -2x+6 x-2

Solución

Paso 1.  Representar en la caja el dividendo y divisor
divisor x-2 x3 - x2 -2x+6 dividendo

Paso 2  Dividir el primer término del dividendo, x3 , entre el primer término del divisor, x, y se obtiene: x3 x = x2 y se representa:
x2 cociente
x-2 x3 - x2 -2x+6

Paso 3  Multiplicar x2 por el divisor: x2 (x-2)= x3 -2 x2 y se ubican debajo de los términos semejantes del dividendo
x2
x-2 x3 - x2 -2x+6
x3 -2 x2 multiplicando x2  por el divisor

Paso 4  Se restan los términos semejantes:
x2
x-2 x3 - x2 -2x+6
-( x3 -2 x2 ) restando términos semejantes
    x2 -2x+6 y bajando los otros términos del dividendo

Paso 5  Se repite el proceso con el nuevo polinomio
x2 +x cociente
x-2 x3 - x2 -2x+6
-( x3 -2 x2 )
    x2 -2x+6 se divide x2  por x
   -( x2 -2x) se multiplica y resta términos semejantes
       6 residuo o resto


Por el algoritmo de la división se tiene que:
x3 - x2 -2x+6 x-2 = x2 +x+ 6 x-2 ó

x3 - x2 -2x+6=( x2 +x)(x-2)+6


2. Dividir 2 x5 - x4 +2 x3 + x2 +2 2 x3 - x2 +5

Solución

Paso 1.  Representar en la caja el dividendo y divisor
inserta el término en x con coeficiente 0
divisor 2 x3 - x2 +5 2 x5 - x4 +2 x3 + x2 +0x+2 dividendo

Paso 2  Dividir el primer término del dividendo, 2 x5 , entre el primer término del divisor, x, y se obtiene: 2 x5 2 x3 = x2 y se representa:


x2 cociente
2 x3 - x2 +5 2 x5 - x4 +2 x3 + x2 +0x+2

Paso 3  Multiplicar x2 por el divisor: x2 (2 x3 - x2 +5)=2 x5 - x4 +5 x2 y se ubican debajo de los términos semejantes del dividendo
x2
2 x3 - x2 +5 2 x5 - x4 +2 x3 + x2 +0x+2
2 x5 - x4 +0 x3 +5 x2 multiplicando x2  por el divisor

Paso 4  Se restan los términos semejantes:
x2
2 x3 - x2 +5 2 x5 - x4 +2 x3 + x2 +0x+2
-(2 x5 - x4 +0 x3 +5 x2 ) restando términos semejantes
     2 x3 -4 x2 +0x+2 y bajando los otros términos del dividendo

Paso 5  Se repite el proceso con el nuevo polinomio
x2 +1 cociente
2 x3 - x2 +5 2 x5 - x4 +2 x3 + x2 +0x+2
-(2 x5 - x4 +0 x3 +5 x2 )
     2 x3 -4 x2 +0x+2 se divide 2 x3  por 2 x3
   -(2 x3 - x2 +0x+5) se multiplica y resta términos semejantes
      -3 x2 -3 residuo o resto


Por el algoritmo de la división se tiene que:
2 x5 - x4 +2 x3 + x2 +2 2 x3 - x2 +5 = x2 +1- 3 x2 +3 2 x3 - x2 +5 ó

2 x5 - x4 +2 x3 + x2 +2=( x2 +1)(2 x3 - x2 +5)-3 x2 -3


3. Dividir 8 x6 -6 x5 -6 x4 +38 x3 + x2 -14x+21 4 x3 + x2 -2x+3

Solución

(4 x3 + x2 -2x+3)(2 x3 -2 x2 +7)=8 x6 -6 x5 -6 x4 +38 x3 + x2 -14x+21
Este ejercicio se resuelve directamente, indicando los pasos en el mismo procedimiento:
2 x3 -2 x2 +7 cociente
4 x3 + x2 -2x+3 8 x6 -6 x5 -6 x4 +38 x3 + x2 -14x+21 se divide 8 x6  por 4 x3
-(8 x6 +2 x5 -2 x4 +6 x3 ) se multiplican 2 x3 y 4 x3 + x2 -2x+3
   -8 x5 -4 x4 +32 x3 + x2 -14x+21 se restan y luego se divide -8 x5 por 4 x3
  -(-8 x5 -4 x4 +4 x3 -6 x2 ) se multiplican -2 x2 y 4 x3 + x2 -2x+3
      28 x3 +7 x2 -14x+21 se restan y luego se divide 28 x3 por 4 x3
      -(28 x3 +7 x2 -14x+21) se multiplican 7 y 4 x3 + x2 -2x+3
                                   0 residuo o resto
Por el algoritmo de la división se tiene que:
8 x6 -6 x5 -6 x4 +38 x3 + x2 -14x+21 4 x3 + x2 -2x+3 =2 x3 -2 x2 +7+ 0 4 x3 + x2 -2x+3 ó

8 x6 -6 x5 -6 x4 +38 x3 + x2 -14x+21=(2 x3 -2 x2 +7)(4 x3 + x2 -2x+3)


  Práctica.

Oprime el enlace a continuación para prácticar la divición de polinomios.



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