División sintética
Objetivos:
- Dividir un polinomio por un binomio de la forma
.
- Usar el teorema del residuo en conjunto con la división sintética para determinar un valor funcional de un polinomio.
- Usar el teorema del factor en conjunto con la división sintética para encontrar los factores y ceros de un polinomio.
Introducción
La división sintética.se puede utilizar para dividir una función
polinómica por un binomio de la forma
. Esto nos permite, por
ejemplo hallar el cociente y el resto que se obtiene al dividir el polinomio
por
. Además, por el teorema del resto al aplicar la división
sintética se obtiene el valor funcional del polinomio. También
permite encontrar los factores y ceros de un polinomio. Al encontrar los
ceros de un polinomio, éste se puede factorizar completamente y expresar
como el producto de sus factores lineales. En resumen, la división sintética juega un papel preponderante en la división de un polinomio
por un factor lineal de la forma
. .
División sintética
La división sintética se utiliza para dividir un polinomio entre un
binomio de la forma
y su aplicación principal es para determinar
los ceros de un polinomio
Considere un polinomio de grado
de la
forma:
Para aplicar la división sintética se sugiere seguir los siguientes
pasos y :
- Establezca la división sintética, colocando en la primera fila
los coeficientes del polinomio (si algún término no aparece, asígnele coeficiente cero) y a la extrema izquierda el valor de
.
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coeficientes del dividendo |
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- Baje el coeficiente principal a la tercera fila.
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- Multiplique
por el coeficiente principal
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- Sume los elementos de la segunda columna.
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- Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante
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- Escriba la respuesta, es decir, el cociente y residuo. Como el
dividendo es de grado
y el divisor es de grado 1, el cociente es de
grado
y sus coeficientes son
y
el residuo es
y se obtiene:
el cociente:
el residuo:
Nota: Si
entonces
es un cero del polinomio, es decir,
o
es un factor del polinomio.
Ejemplos
1. Dividir
por
Solución
Paso 1 Establezca la división sintética colocando los
coeficiente del dividendo y el valor de
Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila.
Paso 3 Multiplique
por el coeficiente principal
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Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna.
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Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término
constante
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Paso 6 Escriba el cociente y resto
Cociente:
Residuo:
Por el algoritmo de la división se tiene:
2. Dividir
por
Solución
Paso 1 Establezca la división sintética colocando los
coeficiente del dividendo y el valor de
Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila.
Paso 3 Multiplique
por el coeficiente principal
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Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna.
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Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término
constante
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Paso 6 Escriba el cociente y resto
Cociente:
Residuo:
Por el algoritmo de la división se tiene:
En este caso como el residuo es 0, entonces
es un cero del polinomio y
es un factor.
Práctica
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