Ecuaciones TrigonométricasObjetivos
IntroducciónUna ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene expresiones trigonométricas y se resuleven usando técnicas similares a las usadas en ecuaciones algebraicas, por lo que las soluciones representaran ángulos. Por ejemplo las siguientes son ecuaciones trigonométricas: Si la medida de los grados no esta especificada, entonces se trabajara en radianes. Resolviendo Ecuaciones TrigonométricasResolveremos las ecuaciones trigonométricas en el intervalo [0, 2 ) y tambien de forma general. Ejemplo 1 Encontrar la solución de la ecuación,
Solución: Si entonces el ángulo de referencia para x es x = que se encuentra en el cuadrante I; si consideramos otra solución de la ecuación vemos que , ubicada en el cuadrante II, es otra solución en el intervalo [0, 2 ), a continuación se muestra gráficamente. Como la función seno tiene período 2
, podemos obtener todas las soluciones, sumando múltiplos de 2
a
a 5
, para todo entero n. Ejemplo 2 Encontrar todas las soluciones de la ecuación, Solución:
21 Análogamente con el ejemplo anterior tenemos la gárafica Observando la imagen encontramos que los ángulos que solucionan la ecuación en [0, 2 ), son: , , soluciones en el I y IV cuadrante respectivamente. Como la función coseno tiene período 2 , sumamos múltiplos de este número a las soluciones anteriores. , para todo entero n.
Resolviendo Ecuaciones Trigonométricas que envuelven ángulo dobleResolveremos las ecuaciones trigonométricas cuyas funciones trigonométricas envuelven ángulo doble, en el intervalo [0, 2 ) y tambien de forma general. Ejemplo 3 Encontrar todas las soluciones de la ecuación, Solución: Sabemos que si , entonces:
sea θ = 2x luego , entonces
En grados, tenemos: La figura muestra las soluciones de la ecuación trigonométrica coseno del ángulo doble.
Resolviendo Ecuaciones Trigonométricas mediante FactorizaciónUsaremos factorización para resolver ecuaciones trigonométricas. Ejemplo 4 Encontrar todas las soluciones de la ecuación, Solución: dado haciendo un lado cero factor común y igualando cada factor a cero y resolviendo para seno y tangente Las soluciones del seno son: 0,π,-π,2π,-2π,... en general si entonces θ = πn para n entero. Por otro lado la función tangente tiene período π, asi la solución de en el intervalo (-π/2,π/2) es π/4. En genereal, si entonces θ= Finalmente, la solución de la ecuación dada son: θ = πn y θ= para todo n entero. gráficamente tenemos:
Ejemplo 5 Encontrar todas las soluciones de la ecuación, Solución: La ecuación trigonométrica es del tipo cuadratico , que factoriza en (2y+1)(y-1). Así nuestra ecuación trigonométrica factoriza en:
21=0 y sen1=0 2 y sen y sen1 en el intervalo: [0, 2 )
En general tenemos: , gráficamente podemos observar las soluciones.
Encontrar todas las soluciones de la ecuación, Solución: Cuando no se encuentra ninguna identidad para reducir la expresión o no se puede factorizar, es útil elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado, pero hay que verificar la solución obtenida. + 2 2cos0 y y x Verificación: si , tenemos:
0+1=1 cierto. si , tenemos:
0+1=-1 falso. si x = π, tenemos: -1+1=0 cierto Por lo que las soluciones únicamente son:En general: x La gárafica muestra la ecuación trigonométrica igualada a cero, claramente se nota que las raíces de la función representa las soluciones de la ecuación trigonométrica. Para practicar ejercicios sobre ecuaciones trinométricas haz click en el siguiente botón ResumenAhora que has completado esta lección, eres capaz de:
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