Exponentes Racionales y Radicales


Objetivos

Al final de esta lección, debes ser capaz de:
  1. Escribir una potencia con exponente un fraccionario en su forma radical.
  2. Simplificar expresiones que contienen exponentes fraccionarios.
  3. Usar potencias con exponentes fraccionarios para simplificar radicales.

Introducción

En este tutorial se usarán los conceptos y propiedades de radicales y potencias con exponentes enteros para dar significado a expresiones de la forma amn donde m y n son números enteros. Se reescribirán, simplificarán y evaluarán expresiones que contienen exponentes racionales. Es muy importante que recuerde como descomponer un número o variable utilizando sus factores pues será necesario a la hora de simplificar expresiones con exponentes racionales.

Exponentes Racionales

Una expresión exponencial tiene un exponente racional si se representa en la forma:
bmn
donde m y n son enteros, n0.


Caso especial
Cuando m=1 bmn = b1n , las propiedades de exponentes se puede aplicar en una manera bien efectiva:

Si comenzamos con una igualdad, aprendimos en la lección de Resolución de Ecuaciones Lineales que al realizar la misma operación a ambos lados, la expresión que resulta sigue siendo cierto. La tabla siguiente da ejemplos cuando aplicamos este principio con exponentes:
Expresión InicialAcción aplicada en ambos ladosExpresión Final
2 = 2Elevado a la 424 = 24
3 = 3Elevado a la 29 = 9
a= b1n Elevado a la n an= ( b1n ) n =b


Así si a es positiva, tenemos la siguiente equivalencia:
a= b1n es equivalente a an =b
En otras palabras, cuando se evalúa b1n se debe preguntar que número a se debe elevar a la n-esima potencia para obtener b. A la expresión b1n se le llama la enésima raíz de b y también se puede expresar como b n .

Simplificar Expresiones Númericas

Ejemplo 1:

Encontrar el valor de 412

Solución:

Paso 1: La pregunta es: 412 =?
Paso 2: Usando la equivalencia, se puede reescribir ?2 =? ×?=4
Paso 3: En este caso es fácil saber que al elevar 2 al cuadrado se obtiene 4, es decir, 22 =4, por lo tanto:
412 =2

Ejemplo 2:

Encontrar el valor de 6413

Solución:

Paso 1: La pregunta es: 6413=?
Paso 2: Usando la equivalencia, se puede reescribir ?3 =? ×? ×?=64
Paso 3: En este caso es fácil saber que al elevar 4 a la tercera potencia se obtiene 64, es decir, 43 =64, por lo tanto:
6413 =4

Ejemplo 3:

Encontrar el valor de 8114

Solución:

Paso 1: La pregunta es: 8114 =?
Paso 2: Usando la equivalencia, se puede reescribir ?4 =? ×? ×? ×?=81
Paso 3: En este caso es fácil saber que al elevar 3 a la cuarta potencia se obtiene 81, es decir, 34 =81, por lo tanto:
8114 =3





Simplificar Expresiones Númericas más Complicadas

Ahora sabemos cómo manejar las expresiones con potencias racionales de la forma: a1n

Para abordar exponentes con potencias racionales de la forma: amn , m 1, nuevamente usamos la ley de exponentes

( a b ) c = a b × c

Esta ley nos permite reescribir la expresión como amn = ( a1n ) m = ( a m ) 1 n . Decidimos cual manera de reescribir la expresión nos conviene para simplificarla.

Ejemplo 1:

Encontrar el valor de 16 3 2

Solución:

Paso 1: Reescribir la expresión 16 3 2 = ( 16 1 2 ) 3
Paso 2: Conseguir 16 1 2 :
16 1 2 =? se puede reescribir como ?2 =16. Pues 42 =16, por lo tanto
161/2 =4
Paso 3: Conseguir 16 3 2

16 3 2 = ( 16 1 2 ) 3 = ( 4 ) 3 = 64


Ejemplo 2:

Encontrar el valor de 32 2 5

Solución:

Paso 1: Reescribir la expresión 32 2 5 = ( 32 1 5 ) 2
Paso 2: Conseguir 32 1 5 :
32 1 5 =? se puede reescribir como ?5 =32. Pues 25 =32, por lo tanto
32 1 5 =2
Paso 3: Conseguir 32 2 5

32 2 5 = ( 32 1 5 ) 2 = ( 2 ) 2 = 4







Radicales

Vimos anteriormente que a x1n se le llama la n-esima raiz de x y tambien se puede expresar como x n


Asi, si x es un número real , p y q números enteros y q es un número entero positivo, entonces:
xpq = ( x1q ) p = (xq)p
o alternativamente
xpq = ( xp ) 1q = xp q
En ambos casos, q es el índice del radical o raíz y p es el numerador de la parte exponencial.


Nota: Si x es un número real negativo, xpq esta definido solo si q es un número entero positivo impar.


Propiedades


Si a y b números reales, m y n números enteros positivos, entonces:
  1. Por las leyes de exponentes, sabemos que (ab) 1n = (a) 1n (b) 1n . Asi, expresando esa misma propiedad con radicales nos da ab n = ( an) ( bn)
  2. Por las leyes de exponentes, sabemos que (ab) 1n = (a) 1n (b) 1n . Asi, expresando esa misma propiedad con radicales nos da ab n = an bn
Acuerdate si n es un número entero positivo par, a y b deben ser positivas pues números como -52 no son reales.

Nota: En general para aplicar las leyes de exponentes es más fácil convertir una radical a un exponente: a n = (a) 1n .

Ejemplos

Ejemplo 2:

Encontrar el valor de 64 3

Solución:

Paso 1: La expresion 64 3 se puede escribir con exponentes como 6413 asi la pregunta ya es: 6413 =?
Paso 2: Usando la equivalencia, se puede reescribir ?3 =? ×? ×?=64
Paso 3: En este caso es fácil saber que al elevar 4 a la tercera potencia se obtiene 64, es decir, 43 =64, por lo tanto:
6413 =4

Simplificar Expresiones Algebraicas

En la lección de Leyes de Exponentes, aprendimos varias leyes de exponentes. Esas leyes aplican igualmente a exponentes fraccionarios. Los siguientes ejemplos demuestren como usarlas para simplificar expresiones algebraicas.

Ejemplo 1: Simplificar d2d84, Solución:




Paso 1: Utilizar la propiedad ap·aq=ap+q
d2d84 = d2+84 = d104
Paso 2: Utilizar la propiedad a 4 = a14
d104 = d10 14
Paso 3: Utilizar la propiedad (ap)q = ap·q
d10 14=d104= d52
Paso 4: Rescriba como un radical simplificado:
d52 = d2+12 = d2·d12 = d2·d
Ejemplo 2: Simplificar
w13·w83

Solución:




Paso 1: Utilizar la propiedad a p = a1p
w13·w83 =w1312w813
Paso 2: Utilizar la propiedad (ap)q = ap·q
w1312w813 = w132·w83
Paso 3: Utilizar la propiedad ap·aq=ap+q
w132·w83=w132+83=w556
Paso 4: Rescriba como un radical simplificado:
d556 = d9+16 = d9·d16 = d9·w6

Presione el botón para practicar ejercicios de leyes de exponentes fraccionarios





Resumen

Ya que has terminado esta lección, debes ser capaz de:

  • Simplificar expresiones númericas con exponentes fraccionarios.
  • Simplificar expresiones algebraicas con exponentes fraccionarios usando las leyes de exponentes.