Factorización de Expresiones Simples
Objetivo
Dada una expresión matemática con varios términos (expresiones separadas por suma o resta), el objetivo de la factorización es separar el mayor factor común posible.
Esto puede ser útil para simplificar expresiones fraccionarias, para ver mejor la composición de una expresión, o como ayuda en la solución de ecuaciones. Al final de esta lección debes ser capaz de: - Identificar el máximo común divisor de dos expresiones y
- Factorizar expresiones cuyos términos tienen factores en común.
Método para la Factorización de Expresiones
Dada una expresión como
los siguientes son los pasos generales para su factorización:
Paso 1:
Reducir todos los números a sus factores primos.
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Paso 2:
Expandir todas las expresiones con exponentes.
2·3·a·a·a·b·b - 2·2·2·a·a·a·a·b·b·b·b |
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Paso 3:
Encontrar los números y variables que son comunes a todas las expresiones.
2·3
·a
·a·
a·b·b -
2·2·2·
a·a·a·a·
b·b·b·b |
El conjunto mas grande posible de estos se llama
El Máximo Común Divisor (MCD)
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Paso 4:
Separar el MCD en cada expresión.
2·
a
·a·a·b·b
(3) -
2·
a
·a·a·b·b
(2·2·a
·b·b) |
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Paso 5:
Usar la ley distributiva para mover afuera el MCD asegurándose poner entre paréntesis lo que queda.
2·a
·a·a·b·b
(3 - 2·2·a·b·b) |
Nota:
La expresión está ahora factorizada, sin embargo es bueno escribir
la factorización final en su forma con exponentes.
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Paso 6:
Compruebe la solución
2a
3
b2(3- 2
2
a2)= 2
a
3
b2(3) -
2a
3
b2(2
2
a2
)
= 6a
3b2
- 23 a
4b4
= 6a
3
b2
- 8a4
b4
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Ejemplo # 1
Factorizar
12a
b2
c3
- 8b3
c + 4a4
b
c2 |
Paso 1:
Reducir todos los números a sus factores primos.
2·2·3
·a
b2
c3
- 2·2·2·
b3c +
2·2a
4b
c2
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Paso 2:
Expandir todas las expresiones con exponentes.
2·
2·3·
a·b·b·c·c·c - 2
·2·2·b·b·b
·c + 2·2·a·a·a·a·b·c·c |
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Paso 3:
Encontrar el MCD.
2·
2·
3·a
·b·b·
c·c·c - 2·
2·2·
b·b·b
·c+
2·2·a·a·a·a·
b·c·c, |
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Paso 4:
Aislar el MCD en cada expresión.
2·
2·
b·c·(3
·a·b·c·
c) - 2·2·
b·
c·(2·b·b
)+2·2
·b·c·(a·a·a·a·c) |
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Paso 5:
Usar la ley distributiva para mover afuera el MCD asegurándose poner entre paréntesis lo que queda.
2·2
·b·c·(3·a
·b·c·c -
2·b·b
+ a·a·a·a·c) |
Nota:
La expresión está ahora factorizada, sin embargo es bueno escribir
la factorización final en su forma con exponentes.
4bc·(3a
bc2 -
2b2
+ a4
c)
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Paso 6:
Compruebe la solución
4bc(3
abc2 -
2b2
+ a4
c)
= 4bc(3abc2)
- 4bc(2b2)
+4bc(a4
c)
= 12ab2
c3
-
8b3c
+ 4a4bc2
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Ejemplo #2
Factorizar
9x3
y2 z
- 3xyz + 6x2
y3
z |
Paso 1:
Reducir todos los números a sus factores primos.
3·3·x3
y2 z
- 3·xyz
+
2·3
x2
y3
z |
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Paso 2:
Expandir todas las expresiones con exponentes.
3·3·x·x·x·y·y·z - 3·x·y·z
+ 2·3·x·x·y·y·y
·z |
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Paso 3:
Encontrar los números y las variables que son comunes
a todas las expresiones.
3·3·x·x·x·y·y·z -
3·x·y·z+
2·3·x·x·y·y·y
·z |
entonces, el MCD es
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Paso 4:
Aislar el MCD en cada expresión.
3·x·y·z(3·x·x·y) -
3·x·y·z(1)+
3·x·y·z(2·x·y·y) |
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Paso 5:
Usar la ley distributiva para mover afuera el MCD asegurándose poner entre paréntesis lo que queda.
3·x·y·z(3·x·x·y -
1+ 2·x·y·y) |
Nota: :
La expresión está ahora factorizada, sin embargo es bueno escribir
la factorización final en su forma con exponentes.
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Paso 6:
Compruebe la solución
3xyz(3x2
y
+ 2xy2
- 1)= 3xyz(3x2
y
) + 3xyz(2xy2)
- 3xyz(1)
= 9x3
y2 z + 6x2
y3
z
-
3xyz
=
9x3
y2 z
-
3xyz + 6x2
y3
z
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Para practicar conseguir el MCD de dos expresiones, oprime el botón de abajo.
Para practicar la factorización de expresiones con varios términos, oprime el botón de abajo.
Resumen
Ya que has terminado esta lección debes ser capaz de:
- Identificar el máximo común divisor de dos expresiones
- Factorizar expresiones cuyos términos tienen factores en común.
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