Factorización de Expresiones Simples


Objetivo

Dada una expresión matemática con varios términos (expresiones separadas por suma o resta), el objetivo de la factorización es separar el mayor factor común posible. Esto puede ser útil para simplificar expresiones fraccionarias, para ver mejor la composición de una expresión, o como ayuda en la solución de ecuaciones. Al final de esta lección debes ser capaz de:

  • Identificar el máximo común divisor de dos expresiones y
  • Factorizar expresiones cuyos términos tienen factores en común.


Método para la Factorización de Expresiones

Dada una expresión como
6a3 b2 - 8a4 b4,

los siguientes son los pasos generales para su factorización:


Paso 1: Reducir todos los números a sus factores primos.
 

2·3·a 3b 2 - 2·2·2·a4 b4

 

Paso 2: Expandir todas las expresiones con exponentes.
 

2·3·a·a·a·b·b - 2·2·2·a·a·a·a·b·b·b·b

 

Paso 3: Encontrar los números y variables que son comunes a todas las expresiones.
 

2·3 ·a ·a· a·b·b - 2·2·2· a·a·a·a· b·b·b·b

El conjunto mas grande posible de estos se llama El Máximo Común Divisor (MCD)
 

MCD = 2·a ·a·a·b·b

 

Paso 4: Separar el MCD en cada expresión.

2· a ·a·a·b·b (3) - 2· a ·a·a·b·b (2·2·a ·b·b)

Paso 5: Usar la ley distributiva para mover afuera el MCD asegurándose poner entre paréntesis lo que queda.

2·a ·a·a·b·b (3 - 2·2·a·b·b)

Nota: La expresión está ahora factorizada, sin embargo es bueno escribir la factorización final en su forma con exponentes.
 

2a3 b2(3 - 2 2a 2)

 

Paso 6: Compruebe la solución

2a 3 b2(3- 2 2 a2)= 2 a 3 b2(3) - 2a 3 b2(2 2 a2 )

              = 6a 3b2 - 23 a 4b4

                              = 6a 3 b2 - 8a4 b4


 


Ejemplo # 1

Factorizar

12a b2 c3 - 8b3 c + 4a4 b c2


Paso 1: Reducir todos los números a sus factores primos.
 
2·2·3 ·a b2 c3 - 2·2·2· b3c + 2·2a 4b c2

 

Paso 2: Expandir todas las expresiones con exponentes.
 
2· 2·3· a·b·b·c·c·c - 2 ·2·2·b·b·b ·c + 2·2·a·a·a·a·b·c·c

 

Paso 3: Encontrar el MCD.
 
2· 2· 3·a ·b·b· c·c·c - 2· 2·2· b·b·b ·c+ 2·2·a·a·a·a· b·c·c,

MCD = 2·2 ·b·c

 

Paso 4: Aislar el MCD en cada expresión.
 
2· 2· b·c·(3 ·a·b·c· c) - 2·2· b· c·(2·b·b )+2·2 ·b·c·(a·a·a·a·c)

 

Paso 5: Usar la ley distributiva para mover afuera el MCD asegurándose poner entre paréntesis lo que queda.
 
2·2 ·b·c·(3·a ·b·c·c - 2·b·b + a·a·a·a·c)

Nota: La expresión está ahora factorizada, sin embargo es bueno escribir la factorización final en su forma con exponentes.
 

4bc·(3a bc2 - 2b2 + a4 c)

 

Paso 6: Compruebe la solución

4bc(3 abc2 - 2b2 + a4 c) = 4bc(3abc2) - 4bc(2b2) +4bc(a4 c)

                         = 12ab2 c3 - 8b3c + 4a4bc2

 

 


Ejemplo #2

Factorizar
9x3 y2 z - 3xyz + 6x2 y3 z


Paso 1: Reducir todos los números a sus factores primos.
 
3·3·x3 y2 z - 3·xyz + 2·3 x2 y3 z

 

Paso 2: Expandir todas las expresiones con exponentes.
 
3·3·x·x·x·y·y·z - 3·x·y·z + 2·3·x·x·y·y·y ·z

 

Paso 3: Encontrar los números y las variables que son comunes a todas las expresiones.
 
3·3·x·x·x·y·y·z - 3·x·y·z+ 2·3·x·x·y·y·y ·z

entonces, el MCD es

MCD = 3·x·y·z

 

Paso 4: Aislar el MCD en cada expresión.
 
3·x·y·z(3·x·x·y) - 3·x·y·z(1)+ 3·x·y·z(2·x·y·y)

 

Paso 5: Usar la ley distributiva para mover afuera el MCD asegurándose poner entre paréntesis lo que queda.
 
3·x·y·z(3·x·x·y - 1+ 2·x·y·y)

Nota: : La expresión está ahora factorizada, sin embargo es bueno escribir la factorización final en su forma con exponentes.
 

3xyz(3x2 y + 2xy2 - 1)

 

Paso 6: Compruebe la solución

3xyz(3x2 y + 2xy2 - 1)= 3xyz(3x2 y ) + 3xyz(2xy2) - 3xyz(1)

              = 9x3 y2 z + 6x2 y3 z - 3xyz

                  = 9x3 y2 z - 3xyz + 6x2 y3 z

Para practicar conseguir el MCD de dos expresiones, oprime el botón de abajo.

Para practicar la factorización de expresiones con varios términos, oprime el botón de abajo.

Resumen

Ya que has terminado esta lección debes ser capaz de:

  • Identificar el máximo común divisor de dos expresiones
  • Factorizar expresiones cuyos términos tienen factores en común.