Factorización por Agrupación

Objetivos:

  1. Factorizar expresiones algebraicas con más de tres términos.
  2. Agrupar las expresiones algebraicas en dos expresiones sencillas con un factor común.
  3. Aplicar las técnicas de factorización de los casos especiales.

Introducción

Esta técnica nos permite factorizar expresiones que tienen cuatro términos o más aplicando la agrupación de términos en dos o más grupos. Luego se factoriza cada grupo, con el objetivo de encontrar un factor común en cada uno de ellos que se pueda factorizar. Finalmente se utilizan los criterios de factorización de bimonios y trinomios, para terminar el proceso.

Ejemplos

Ejemplo 1. Factorice completamente x3 -8 x2 +2x-16

Solución
Paso 1. Agrupar los términos en una manera que cada grupo se puede factorizar y cada elemento pertenece a un grupo. En este caso, agrupar el primero con el segundo término y el tercero con el cuarto término ( x3 -8 x2 )+(2x-16)

Paso 2. En cada Grupo, factorizar la expresión.

ExpresionExpresion Factorizada
x3 -8 x2 x2 (x-8)
8 x -16 2 (x-8)


Paso 3. Usar el factor común en las expresiones factorizadas de la tabla anterior para factorizar la expresión. ( x 3 -8 x 2 ) +(2x-16) = x2 (x-8) + 2(x-8) = (x-8) ( x 2 + 2)
El proceso termina, porque los dos factores son irreducibles.

Ejemplo 2. Factorice completamente 6 x3 -9 x2 -54x+81

Solución
Paso 1. Agrupar los términos en una manera que cada grupo se puede factorizar y cada elemento pertenece a un grupo. En este caso, agrupar el primero con el segundo término y el tercero con el cuarto término. (6 x3 -9 x2 )+(-54x+81)

Paso 2. En cada Grupo, factorizar la expresión.
ExpresionExpresion Factorizada
6 x3 -9 x2 3 x2 (2x-3)
-54 x +81 -27 ( 2x-3)


Paso 3. Usar el factor común en las expresiones factorizadas de la tabla anterior para factorizar la expresión. (6 x3 - 9 x 2 )+(-54x+81) = 3x2 (2x-3) - 27(2x-3) = (2x-3) ( 3 x 2 - 27)
El proceso continúa, porque el segundo factor se puede factorizar.

Paso 4. Factorizar el segundo factor. 3 x2 -27 = 3 ( x 2 -9) Differencia De Cuadros = 3(x-3)(x+3)

Por lo tanto: 6 x3 -18 x2 -54x+81=3(x-3)(x+3)(2x-3)

Ejemplo 3. Factorice completamente x2 +xy+xz+yz

Solución
Paso 1. Agrupar los términos en una manera que cada grupo se puede factorizar y cada elemento pertenece a un grupo. En este caso, agrupar el primero con el segundo término y el tercero con el cuarto término. ( x2 +xy)+(xz+yz)

Paso 2. En cada Grupo, factorizar la expresión.
ExpresionExpresion Factorizada
x2 +xy x (x+y)
xz+yz z ( x+y)


Paso 3. Usar el factor común en las expresiones factorizadas de la tabla anterior para factorizar la expresión. ( x2 + xy) + (xz+yz) = x(x+y) + z(x+y) = (x+y)(x+z)
El proceso termina, porque los dos factores son irreducibles.

Ejemplo 4. Factorice completamente x2 +xy+3x+2y+2

Solución
Paso 1. Agrupar los términos en una manera que cada grupo se puede factorizar y cada elemento pertenece a un grupo. En este caso, agrupar el primero, el tércero y el quinto término juntos y agrupar el segundo con el cuarto término. ( x2 +3x+2)+(xy+2y)

Paso 2. En cada Grupo, factorizar la expresión.
ExpresionExpresion Factorizada
x2 +3x+2 (x+1) (x+2)
xy+2y y ( x+2)


Paso 3. Usar el factor común en las expresiones factorizadas de la tabla anterior para factorizar la expresión. ( x2 +3x+2)+(xy+2y) = (x+1) (x+2) + y(x+2) = (x+2)(x+1+y)
El proceso termina, porque los dos factores son irreducibles.

Resumen

Ya que has terminado con esta leccion, debes ser capaz de:
  1. Factorizar expresiones algebraicas con más de tres términos.
  2. Agrupar las expresiones algebraicas en dos expresiones sencillas con un factor común.
  3. Aplicar las técnicas de factorización de los casos especiales.