Factorización suma y diferencia de cubos

Objetivos:

  1. Reconocer cubos perfectos.
  2. Factorizar expresiones algebraicas que contengan una suma o diferencia de cubos.
  3. Aplicar las técnicas de factorización de los casos especiales.

Procedimiento

Anteriormente usted aprendió a factorizar, por ejemplo: encontrando el factor común, una diferencia de cuadrados, etc. Ahora se discute el caso en que se tienen términos con cubos perfectos, ya sea sumando o restando.

Para factorizar una suma o diferencia de cubos debe reconocer que cada uno de los términos deben ser cubos perfectos, es decir, se pueden factorizar como el producto de tres términos idénticos, donde el término idéntico es la raíz cúbica del término original . Por ejemplo:

64=4×4×4= 43 donde 643=4 8 y3 =2y×2y×2y= (2y)3 donde 8 y3 3=2y


Si el primer y segundo términos son cubos perfectos, se tiene: Suma de cubos: x3 + y3 =(x+y)( x2 -xy+ y2 )

Diferencia de cubos: x3 - y3 =(x-y)( x2 +xy+ y2 )

Ejemplos

Ejemplo 1. Factorice completamente x3 -64 y3

Solución
Paso 1. verificar que cada término es un cubo perfecto: x3 3=x 64 y3 3=4y

Paso 2. aplicar la fórmula de diferencia de cubos: x3 -64 y3 = x3 - (4y)3 =(x-4y)( x2 +x(4y)+ (4y)2 )=(x-4y)( x2 +4xy+16 y2 )

El proceso termina, porque los dos factores son irreducibles.

Ejemplo 2. Factorice Completamente 27 a3 +216 b3

Solución
Paso 1. verificar que cada término es un cubo perfecto: 27 a3 3=3a 216 b3 3=6b

Paso 2. aplicar la fórmula de suma de cubos:

27 a 3 + 216 b 3 = ( 3 a ) 3 + ( 6 b ) 3 = ( 3 a + 6 b ) ( ( 3 a ) 2 + ( 3 a ) ( 6 b ) + ( 6 b ) 2 ) = ( 3 a + 6 b ) ( 9 a 2 - 18 ab + 36 b 2 = 3 ( a + 2 b ) ( 9 ) ( a 2 - 2 ab + 4 b 2 ) = 27 ( a + 2 b ) ( a 2 - 2 ab + 4 b 2 )

El proceso termina, porque los dos factores son irreducibles.

Ejemplo 3. Factorice completamente 8 n3 +125 m3

Solución
Paso 1. verificar que cada término es un cubo perfecto: 8 n3 3=2n 125 m3 3=5m

Paso 2. aplicar la fórmula de suma de cubos: 8 n3 +125 m3 = (2n)3 + (5m)3 =(2n+5m)( (2n)2 -(2n)(5m)+ (5m)2 ) =(2n+5m)(4 n2 -10mn+25 m2 )

El proceso termina, porque los dos factores son irreducibles.

Ejemplo 4. Factorice completamente 64 x6 - y6

Solución
Paso 1. verificar que cada término es un cubo perfecto: 64 x6 3=4 x2 y6 3= y2

Paso 2. aplicar la fórmula de diferencia de cubos: 64 x6 - y6 = (4 x2 )3 - ( y2 )3 =(4 x2 - y2 )( (4 x2 )2 -(4 x2 )( y2 )+ ( y2 )2 ) =(4 x2 - y2 )(16 x4 -4 x2 y2 + y4 )

El primer factor (4 x2 - y2 ), se puede factorizar y se obtiene:

64 x6 - y6 =(2x-y)(2x+y)(16 x4 -4 x2 y2 + y4 )

Haga clic en el enlace a continuación para prácticar la factorización de expresiones cuadráticas con coeficientes principales igual a 1.

Resumen

Ya que has completado esta lección debes poder:

  1. Reconocer cubos perfectos.
  2. Factorizar expresiones algebraicas que contengan una suma o diferencia de cubos.
  3. Aplicar las técnicas de factorización de los casos especiales.