Graficar y Modelar Funciones CuadráticasObjetivosAl concluir esta lección, deberás ser capaz de:
IntroducciónLas funciones cuadráticas pueden ser usadas para modelar datos y ser analizados en una gran variedad de aplicaciones de la vida real. En esta lección vamos a estudiar las gráficas de las funciones cuadráticas y cómo utilizarlas para modelar diversos problemas. En la siguiente aplicación, dejar la velocidad inicial y el ángulo incial en 60 y oprimir el botón lanzar. La trayectoria del proyectil es una parábola y el proyectil está en la tierra (y = 0) cuando x = 0 (al comienzo) y x = 318.13 (al final). (Si no ves la aplicación, por favor descarga flashplayer aquí). Aplicación Cortesia de www.educaplus.orgAhora, prueba cambiar los valores del ángulo y la velocidad y vuelve a presionar el botón lanzar. Al trazar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal x la altura y alcanzada por el proyectil. Veremos que esta representación gráfica corresponde a una función cuadrática Forma estándar de una Función cuadrática.
Convertir una función expresada en forma general a su forma estándarCualquier función cuadrática puede ser expresada en forma estándar:
La forma de lograr esto es usando el método de completar al cuadrado. Este método está cubierto en la lección de factorización. Presta atención en especial a los casos en que a es distinto de 1.
Ejemplo 1: Escribir la función en forma estándar. Solución:
Ejemplo 2: Escribir la función en forma estándar. Solución:
Haga clic en el siguiente enlace para practicar la forma estándar de una función cuadrática: Gráfica de funciones cuadráticas.Gráfica de .La gráfica de la función: es la siguiente:
La gráfica de una función cuadrática recibe el nombre de parábola. Estas siempre tienen un valor extremo llamado vértice de la parábola. Este valor es muy importante en aplicaciones prácticas cuando queremos hallar el valor máximo o mínimo de una función cuadrática como veremos más adelante, cuando desarrollemos los problemas de aplicacion. Gráfica deLa forma estándar es muy conveniente para dibujar la parábola aplicando transformaciones a la gráfica de .
La transformación de funciones se explica en detalle en el tutorial de Transformación de Funciones. Ejemplo 1: Grafica la función Solución:
Ejemplo 2: Grafica la función Solución:
Valores Máximos y MínimosObservando las gráficas en los ejemplos anteriores vemos que el valor extremo de la función ocurre justo en el vértice, el cual es muy fácil distinguir cuando tenemos la función escrita en forma estándar.
Ejemplo: Dada la siguiente función
Solución:
La fórmula indica que la parábola tiene un valor mínimo, pues a=5 es positivo. Como vemos en la gráfica el vértice de la parábola es (3,4) y se abre hacia arriba. El valor mínimo es f(3)=4. ModelarEn la siguiente aplicación, vamos a modelar la trayectoria de la bala del cañón. Esta trayectoria tiene la forma de una parábola. Al lado derecho vemos la función cuadrática escrita en su forma estándar. Al lado izquierdo vemos tres segmentos de recta que representan los valores que pueden tomar los parámetros a, h y k correspondientes a esta función. Al mover los puntos correspondientes cambian los valores de estos parámetros y por lo tanto la gráfica. Prueba mover los puntos y observa los cambios que producen en la gráfica y en la ecuación. El objetivo de este ejercicio es mover los puntos para cambiar los parámetros a, h y k de forma tal que la parábola obtenida coincida con la trayectoria de la bala, mostrada en lineas punteadas. Una vez que hayas logrado esto, podras observar en el lado derecho la ecuación que le corresponde a la trayectoria de la bala.
Problemas de AplicaciónEjemplo 1: Se lanza una pelota en un campo de juego. Su trayectoria está dada por la función:
Solución:
Como la función representa la altura que viaja la pelota, su altura máxima es k=16. La altura máxima es alcanzada cuando x =h=12. También es facil encontrar estos valores observando la gráfica. Ejemplo 2: Encontrar dos número reales positivos a y b cuyo producto es el máximo, y que además cumplan que a + 2b = 24 Solución: Queremos modelar una función p que exprese el producto de a y b. p = a × b Tenemos dos variables. Podemos utilizar la segunda condición para escribir la variable a en términos de b. a + 2b = 24 de donde a = 24-2b Reescribimos nuestra función en términos de b.
Observando la forma estandar de la función vemos que el valor máximo se alcanza cuando b = 6. Ahora podemos calcular el valor de la segunda variable utilzando la expresión a = 24-2b de donde a=12. Haga clic en el siguiente enlace para practicar problemas de aplicación ResumenAhora que has completado esta lección, eres capaz de:
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