Funciones Cuadráticas y sus Raíces


Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

  • Identificar funciones cuadráticas.
  • Encontrar las raíces de una función cuadrática.

Introducción

Muchas aplicaciones de la vida real pueden ser modeladas con funciones cuadráticas. En esta lección vamos a estudiar las funciones cuadráticas y vamos a aprender cómo obtener las raíces de la función.

Veamos la siguiente aplicación que nos permite visualizar funciones cuadráticas.

Aplicación Cortesia de www.educaplus.org

Mueve los puntos para que cambien los valores de los parámetros de la ecuación. Qué características puedes observar de la ecuación al lado izquierdo?. Qué puedes decir a cerca de la gráfica?

En este tutorial haremos una introducción a las funciones cuadráticas y cómo obtener las raíces de estas funciones.


Definición


Una función cuadrática es una función f de la forma:

f x = a x 2 + b x + c

donde a, b y c son números reales y a 0 .


La representación anterior es conocida como la forma general de una función cuadrática.

Una función cuadrática puede ser vista como una máquina:

Cuadratic function machine

donde los valores de a, b y c son valores conocidos por la máquina

Así por ejemplo, si tenemos la siguiente máquina:

Cuadratic function machine

y el valor de x es 5, entonces la máquina nos dará el siguiente valor de salida:

Cuadratic function machine



Raíces de una Función Cuadrática

La siguiente aplicación nos muestra otra forma de expresar las funciones cuadráticas.

Aplicación Cortesia de www.educaplus.org

En la aplicación anterior al escoger a = 1, r 1 = 1 y r 2 = 2 resulta la gráfica de la ecuación cuadrática

Selecciona la caja rotulada Intersección con el eje. Nota que r 1 y r 2 son los valores de x donde f(x) = 0. Estos valores se conocen como las raíces de la función cuadrática.

Si realizamos la multiplicación, obtenemos la fórmula de la función correspondiente en su forma general.

f(x) = x2 - 3x + 2.

Esto nos indica que si tenemos la fórmula y la factorizamos obtenemos las raíces de una función cuadrática. En esta sección utilizaremos lo aprendido en la lección de factorización.



Función Cuadrática con dos Raíces Reales

Ejemplo:

Encontrar las raíces de la función f x = x 2 + 3 x - 10

Solución:

Como las raíces son los valores donde la función es 0, buscamos resolver la ecuación f(x)=0

Factorizando la expresión obtenemos

f x = x+5 x-2

Como el producto anterior es cero, entonces:

x+5 = 0 x = -5

o

x-2 = 0 x = 2

Las raíces de la función f x = x 2 + 3 x - 10 son x=5 y x=-2

Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente:

x al cuadrado

Si una función cuadrática tiene dos raíces reales su fórmula se puede escribir en la forma k(x-a)(x-b) donde a y b son números reales. En este caso, la gráfica atraviesa el eje x dos veces.


Función Cuadrática con una Raíz Real

Ejemplo:

Encontrar las raíces de la función f x = x 2 - 2 x + 1

Solución:

Como las raíces son los valores donde la función es 0, buscamos resolver la ecuación f(x)=0

Factorizando la expresión obtenemos

f x = x - 1 x - 1

Como f(x)=0, entonces:

x - 1 = 0 x = 1

Las función f x = x 2 - 2 x + 1 tiene una raíz y es x=1

Como vemos en la siguiente figura, la gráfica de la función toca el eje x sin cruzarlo, por lo que sólo tiene una raíz:

x al cuadrado

Si una función cuadrática tiene una raíz real su fórmula se puede escribir en la forma k(x-a)2 y su gráfica toca el eje x pero no lo cruza.

 


Función Cuadrática sin Raíces Reales

Ejemplo:

Encontrar las raíces de la función f x = 2 x 2 - 3 x + 2

Solución:

Como las raíces son los valores donde la función es 0, buscamos resolver la ecuación f(x)=0

Cuando vemos que no es muy facil la factorización podemos recurrir a la fórmula cuadrática.

Estudiamos la fórmula cuadrática en la leccion ecuaciones cuadraticas.

x = 3 ± 3 2 4 2 2 2 2
x = 3 ± 9 16 4
x = 3 ± 7 i 4

Las raíces de la función f x = 2 x 2 - 3 x + 2 son x = 3 + 7 i 4 y x = 3 - 7 i 4

Cuando la gráfica no intercepta el eje x, las raíces de la función cuadrática son imaginarias, como vemos en la gráfica correspondiente:

x al cuadrado

Si, usando la fórmula cuadrática, obtenemos raíces imaginarias para función cuadrática, significa que la función no tiene raíces reales. En este caso, la gráfica no toca el eje x.



Haga clic en el siguiente enlace para practicar la forma de encontrar la raices de una función cuadrática:


Relación entre las Raíces y los Factores de una Función Cuadrática

Como vimos en los ejemplos previos, existe una relación entre los factores de la función cuadrática y sus raíces.


Si r1 y r2 son raíces de una función cuadrática, entonces ésta se puede escribir en la siguiente forma:

f x = k x - r 1 x - r 2

donde k 0 , es un número real .


Como consecuencia, podemos afirmar lo siguiente:

Si r es una raíz de una función cuadrática, entonces existe un factor (x-r) en la fórmula de la función.


Ejemplo 1:

Hallar la función cuadrática cuyas raíces son 2 y -1 y cuyo intercepto es -6.

Solución:

Por la relación que existe entre las raíces y los factores de la función cuadrática, esta tendrá la forma:

f x = k x - 2 x + 1

Ademas como el intercepto es -6, significa f(0)=-6

Reemplazando x=0 en la fórmula anterior:

f 0 = k 0 - 2 0 + 1 = - 6

De donde:

- 2 k = - 6

y entonces:

k = 3

Finalmente, la función que buscamos es:

f x = 3 x - 2 x + 1

Esta es la gráfica de la función. Puedes verificar que la función tiene las raíces 2 y -1 y su intercepto es -6.

x al cuadrado



Ejemplo 2:

Hallar la función cuadrática cuya única raíz es 1 y cuyo intercepto con el eje de y es 2.

Solución:

Por la relación que existe entre las raíces y los factores de la función cuadrática, esta tendrá la forma:

f x = k x - 1 2

Ademas como el intercepto es 2, significa f(0)=2

Reemplazando x=0 en la fórmula anterior:

f 0 = k 0 - 1 2 = 2

De donde:

k = 2

Finalmente, la función que buscamos es:

f x = 2 x - 1 2

Esta es la gráfica de la función. Puedes verificar que su raíz es 1 y su intercepto es 2.

x al cuadrado



Ejemplo 3:

Hallar la función cuadrática cuyas raíces imaginarias son i y -i y cuyo intercepto con el eje de y es 2.

Solución:

Por la relación que existe entre las raíces y los factores de la función cuadrática, esta tendrá la forma:

f x = k x - i x + i f x = k x 2 + 1

Ademas como el intercepto es 2, significa f(0)=2

Reemplazando x=0 en la fórmula anterior:

2 = k 0 2 + 1 k = 2

Finalmente, la función que buscamos es:

f x = 2 x - i x + i

Esta es la gráfica de la función. Puedes verificar que no tiene raíces reales y su intercepto es 2.

x al cuadrado



Práctica

En la siguiente aplicación, determine las raices de la función que se le indica

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

  • Identificar funciones cuadráticas.
  • Encontrar las raíces de una función cuadrática.