Funciones Lineales


Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

  • Reconocer una función lineal.
  • Dada una situacion apropiada para una función lineal, encontramos la formula de la función y usarla para resolver problemas.

Introducción

En la lección de relaciones lineales, aprendimos a reconocer, representar y usar relaciones lineales. En esta introducción vamos a mirar algunos de esos ejemplos pero en vez de relaciones lineales vamos a mirarlos como funciones lineales.


x = horas trabajadas 0 1 2 3 4
f(x) = dólares ganados 0 10 20 30 40

Si Juan gana $10.00 por hora, la tabla y gráfica anteriores muestran la función:

Cuando la entrada de la función aumenta en 1, la salida de la función siempre aumenta por 10. Asi la razón de cambio es 10 y es constante. Cuando la razón de cambio es constante, aprendimos en la lección de relaciones lineales que la razón de cambio se puede llamar la pendiente y la relacion es lineal.

Veamos otro ejemplo:

Juan inicia una cuenta en el banco con $20.00 y deposita cada semana $10.00.

x = semanas transcurridas 0 1 2 3 4
f(x) = dólares en la cuenta 20 30 40 50 60

La tabla y la gráfica anterior muestran la función:

cuenta de Juan

  • Iniciamos con $20 dólares (cuando x = 0, f(x) = 20).  Es decir, el intercepto en y es 20.
  • Cuando x aumenta en 1, y aumenta en 10.  Es decir, la pendiente es 10.

 


Definición

La función

es lineal si, al aumentar la entrada en 1, entonces la salida siempre aumenta en la misma cantidad constante.

  • La constante en la cual la función aumenta cuando x aumenta en 1 se llama pendiente y se denota generalmente por la letra m.
  • El valor de f(x) cuando x = 0 se conoce como el intercepto y se denota generalmente por la letra b.

Modelar funciones lineales

Ejemplo 1:

Pedro trabaja lavando autos. Por cada auto que lava gana 20 dólares. Hoy al iniciar el día cuenta su dinero y ve que tiene 40 dólares.

  1. Modelar una función que reciba de entrada la cantidad de autos que lava Pedro y devuelva la cantidad de dinero que tiene.
  2. Usar la función para determinar cuanto dinero tendrá si lava 25 autos.

Solución:

Necesitamos una función que haga lo siguiente:

La siguiente tabla muestra algunos de los valores de la función:

x = cantidad de autos 0 1 2 3 4
f(x) = dólares 40 60 80 100 120

Así vemos que esta es una función lineal.

  • Cuando el valor de entrada es 0, el valor de salida es 40. Es decir, el intercepto es 40.
  • Cuando el valor de entrada aumenta en 1, el valor de salida aumenta en 20, por lo tanto, la pendiente es 20.

La tabla anterior se puede reescribir expresando f(x) como 40 más el número de autos lavados multiplicados por 20 dólares.

x 0 1 2 3
f(x) 40 + 0 × 20 40 + 1 × 20 40 + 2 × 20 40 + 3 × 20

De esta tabla podemos obtener la fórmula de la función:

f(x)= 40 + 20x

Ahora podemos usar la fórmula para determinar cuánto dinero tendré Pedro si lava 25 autos:

f(25)= 40 + 20(25)=540



Ejemplo 2:

Una empresa adquiere una máquina por $12000. El valor de depreciación anual de la máquina es $2000.

  1. Modelar una función que reciba de entrada el número de años transcurridos de la compra y devuelva el valor actual de la máquina.
  2. Usar la función para determinar cuándo el valor de la máquina será $0.

Solución:

Necesitamos una función que haga lo siguiente:

La siguiente tabla muestra algunos de los valores de la función:

x = años transcurridos 0 1 2 3 4
f(x) = valor de la máquina $12000 $10000 $8000 $6000 $4000

Así vemos que esta es una función lineal.

  • Cuando el valor de entrada es 0, el valor de salida es 12000. Es decir, el intercepto es 12000.
  • Cuando el valor de entrada aumenta en 1, el valor de salida disminuye en 2000, por lo tanto, la pendiente es -2000.

La tabla anterior se puede reescribir expresando f(x) de la siguiente manera:

x 0 1 2 3
f(x) $12000 + 0 × (-2000) $12000 + 1× (-2000) $12000 + 2 × (-2000) $12000 + 3 × (-2000)

De esta tabla podemos obtener la fórmula de la función:

f(x)= 12000 - 2000x

Ahora podemos usar la fórmula para determinar cuánto el valor de la máquina será 0:

0 = 12000 - 2000(x)

Despejando para x obtenemos x=6. Es decir, en 6 años la máquina perderá todo su valor.



Ejemplo 3:

El director de una escuela analiza la matrícula de sus estudiantes. El año que se fundó la escuela, inició con 400 estudiantes. A partir de entonces la matrícula de estudiantes fue aumentando en 50 cada año.

  1. Modelar una función que reciba de entrada el número de años transcurridos desde la fundación de la escuela y devuelva la cantidad de estudiantes.
  2. Usar la función para determinar cuántos estudiantes habrá después de 15 años de su fundación.

Solución:

Necesitamos una función que haga lo siguiente:

La siguiente tabla muestra algunos de los valores de la función:

x = años transcurridos 0 1 2 3 4
f(x) = cantidad de estudiantes 400 450 500 550 600

Así vemos que esta es una función lineal.

  • Cuando el valor de entrada es 0, el valor de salida es 400. Es decir, el intercepto es 400.
  • Cuando el valor de entrada aumenta en 1, el valor de salida aumenta en 50, por lo tanto, la pendiente es 50.

La tabla anterior se puede reescribir expresando f(x) de la siguiente manera:

x 0 1 2 3
f(x) 400 + 0 × (50) 400 + 1 × (50) 400 + 2 × (50) 400 + 3 × (50)

De esta tabla podemos obtener la fórmula de la función:

f(x)= 400 +50x

Ahora podemos usar la fórmula para determinar cuántos estudiantes tendrá después de transcurridos 15 años:

f(15) = 400 +50(15)=1150

La escuela tendrá 1150 estudiantes.


La siguiente aplición interactiva te ayudará a relacionar el enunciado del problema con la gráfica de una función lineal y su tabla de valores. Haz click en los siguientes botones para utilizar la aplicación.


Haga clic en el siguiente enlace para practicar cómo reconocer relaciones lineales:


Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

  • Reconocer una función lineal.
  • Dada una situacion apropiada para una función lineal, encontramos la formula de la función y usarla para resolver problemas.