En la lección de Inversas de Funciones , vimos que un función inversa deshace el efecto de f sobre la variable de entrada de tal forma que al componerlas se comporten como una función identidad.
Ejemplo 1:
Si , la función
, es tal que:
La fórmula para es
Ejemplo 2:
Si , la función
, es tal que:
La fórmula para es
Ejemplo 3:
Si , la función
, es tal que:
Todavía no conocemos una fórmula para
esta función
en particular. En esta lección vamos a conocer una nueva familia de funciones que se llaman logaritmos. Esa familia son las inversas de las funciones exponenciales.
Siguiendo esta definición es sencillo construir una tabla para la inversa de una función, pues si (a,b) está en la tabla de f siginifica que (b,a) está en la tabla de .
Encontrar la fórmula para el conjunto de puntos que satisface
Solución:
Sabemos que la inversa
es la inversa de
.
Por otro lado, en la lección de Inversas de Funciones, aprendimos que si la función f es 1:1, al intercambiar x con y en y=f(x), obtenemos la relación para los puntos (x,y) que satisfacen
Intercambiando x con y, en
obtenemos la relación para los puntos (x,y) que satisfacen
En conclusión:
El conjunto de puntos que satisfacen
y es el mismo.
Ejemplo 2:
Encontrar la fórmula para el conjunto de puntos que satisface
Solución:
Sabemos que la inversa
es la inversa de
.
Intercambiando x con y, en
obtenemos la relación para los puntos (x,y) que satisfacen
En conclusión:
El conjunto de puntos que satisfacen
y es el mismo.
Ejemplo 3:
Encontrar la fórmula para el conjunto de puntos que satisface
Solución:
Sabemos que la inversa
es la inversa de
.
Intercambiando x con y, en
obtenemos la relación para los puntos (x,y) que satisfacen
En conclusión:
El conjunto de puntos que satisfacen
y es el mismo.
El conjunto de puntos que satisfacen
y
es el mismo.
Hemos visto que la tabla y la gráfica correspondientes a al
son las siguientes:
x
1
2
4
8
-3
-2
-1
0
1
2
3
De la gráfica obtenemos que:
El dominio de
es { x tal que x > 0}
El rango de
es { x tal que x es un número real}
Ejemplo 2:
Encontrar el dominio y rango de la función
Solución
Hemos visto que la tabla y la gráfica correspondientes a al
son las siguientes:
x
1
3
9
27
-3
-2
-1
0
1
2
3
De la gráfica obtenemos que:
El dominio de
es { x tal que x > 0}
El rango de
es { x tal que x es un número real}
Ejemplo 3:
Encontrar el dominio y rango de la función
Solución
Hemos visto que la tabla y la gráfica correspondientes a al
son las siguientes:
x
4
2
1
-2
-1
0
1
2
A partir de la gráfica obtenemos que:
El dominio de
es { x tal que x > 0}
El rango de
es { x tal que x es un número real}
Ejemplo 3:
Encontrar el dominio y rango de la función
Solución
Usando los métodos antes vistos, podemos construir la tabla de la función
. La tabla y la gráfica correspondientes a
son las siguientes:
x
100
10
1
-2
-1
0
1
2
De la gráfica obtenemos que:
El dominio de
es { x tal que x > 0}
El rango de
es { x tal que x es un número real}
Ejemplo:
En el siguiente applet podrás observar diferentes ejemplos en los cuales se ilustra como la función logarímica es la inversa de la función exponencial.