Operaciones con Funciones


Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

  • Representar la suma, resta y multiplicación de funciones como fórmula, tabla o gráfica.
  • Representar la división de funciones como fórmula o tabla .
  • Sumar, restar, multiplicar y dividir funciones.

Introducción

La oficina de personal de una companía cuenta con estas dos funciones:

mac 1

y

mac 2

 

Así, para realizar el pago a los empleados necesitamos una nueva función: h(x)=f(x)×g(x)


Como sabemos, la tasa de impuestos en artículos diferentes cambia. Por ejemplo, la leche no tiene impuestos. La caja de una tienda se conecta a una computadora que tiene dos funciones:

mac 1

y

mac 2

Para indicar al cliente cuánto tiene que pagar por un artículo, creamos una nueva funcion : h(x)=f(x)+g(x)

Dadas dos funciones f y g, en acaciones necesitamos nuevas funciones que consisten de f + g, f - g, f×g ó f/g



Operaciones de Funciones mediante Fórmulas

Sean dos funciones f y g, la suma, la diferencia, el producto y el cociente para todos los valores de x comunes a ambos dominios, se definen de la siguiente manera:

Suma

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

Diferencia (f-g)(x)=f(x) - g(x)
Producto (f×g)(x)=f(x)×g(x)
Cociente fg = f(x)g(x ) , g(x)≠0

 

 

Ejemplo

Hallar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las funciones f(x)= x + 2 y g(x)= x - 2.
  1. f+g

    (f+g) (x) = fx + gx = (x+2) + (x-2) = x+2 + x-2 = 2x

  2. f-g

    ( f - g ) ( x ) = f x - g x = ( x + 2 ) - ( x - 2 ) = x + 2 - x + 2 = 4

  3. f×g

    ( f × g ) ( x ) = f x × g x = ( x + 2 ) ( x - 2 ) = x 2 - 4

  4. fg

    fg = (x+2) (x-2) = x+2 x-2




Operaciones de Funciones representadas como Tablas

Considere la siguiente tabla de valores que corresponde a las funciones f y g.

x -2 -1 0 1 2
f(x) -2 0 -1 -1 1
g(x) 1 1 0 2 2

 

Usar los valores de f y g en la tabla anterior para obtener f + g, f - g, f×g y fg .

La siguiente tabla muestra los resultados de efectuar las operaciones requeridas. Para obtener los valores para un valor de x, simplemente aplicamos la operacion a los valores dados en la tabla de f(x) y g(x).

x f(x) g(x) (f+g)(x) (f-g)(x) (f×g)(x) (f/g)(x)
-2 -2 1 -1 -3 -2 -2
-1 0 1 1 -1 0 0
0 -1 0 -1 -1 0 No definido
1 -1 2 1 -3 -2 -1
2 1 2 3 -1 2 1

Operaciones de Funciones mediante Gráficas

Es posible realizar operaciones con funciones utilizando sus gráficas. Lo que hacemos es evaluar ambas funciones en los puntos correspondientes y aplicar la operación correspondiente.

Ejemplo

Usar las gráficas de f y g en la siguiente figura para obtener f + g, f - g y f×g.

mac pedazos

En la sección anterior encontramos la tabla de valores de estas funciones. Podemos utilizar estos valores para graficar las funciones.

x f(x) g(x) (f+g)(x)
-2 -2 1 -1
-1 0 1 1
0 -1 0 -1
1 -1 2 1
2 1 2 3
mac pedazos
x f(x) g(x) (f-g)(x)
-2 -2 1 -3
-1 0 1 -1
0 -1 0 -1
1 -1 2 -3
2 1 2 -1
mac pedazos
x f(x) g(x) (f×g)(x)
-2 -2 1 -2
-1 0 1 0
0 -1 0 0
1 -1 2 -2
2 1 2 2
mac pedazos

 


Dominio y Campo de Valores

Cuando estudiamos funciones aprendimos a obtener el dominio y campo de valores de funciones. Como al combinar funciones obtenemos nuevas funciones, estas también tendrán su dominio y campo de valores . Recordemos que para combinar aritméticamente las funciones, estas deben tener un dominio común.

El dominio de la función que resulta de combinar aritméticamente dos funciones f y g, depende del dominio de f y g, como se muestra en la siguiente tabla:

 

dominio de f+g

dominio común a f y g.

dominio de f-g dominio común a f y g.
dominio def×g dominio común a f y g.
dominio de fg dominio común a f y g, excluyendo los valores donde g(x)=0.

Ejemplo

Dadas las siguientes funciones, f(x)= 2x, g(x)= x - 4, h= x . Hallar:

  1. f+g

    (f+g) (x) = f x + g x = 2 x + ( x - 4 ) = 2 x + x - 4 = 3 x - 4

     

  2. dominio de f

    Todos los número reales

    dominio de g Todos los número reales
    dominio de f+g Todos los número reales

     

    campo de valores de f

    Todos los número reales

    campo de valores de g Todos los número reales
    campo de valores de f+g Todos los número reales


  3. f+h

    (f+ h ) (x) = f x + h x = 2 x + ( x ) = 2 x + x

     

  4. dominio de f

    Todos los número reales

    dominio de h Los número reales positivos y el cero
    dominio de f+h Los número reales positivos y el cero

     

    campo de valores de f

    Todos los número reales

    campo de valores de h Los número reales positivos y el cero
    campo de valores de f+h Los número reales positivos y el cero


  5. f g

    f g = (2x) ( x - 4 ) = 2 x x - 4

     

dominio de f

Todos los número reales

dominio de g Todos los número reales
dominio de f g Todos los número reales excepto x=4

 

En el tutorial de funciones racionales se cubre con detalle la forma de obtener el campo de valores de este tipo de funciones.

 


Utiliza los conocimientos adquiridos sobre operaciones de funciones mediante formulas, operaciones de funciones mediante graficas y operaciones de funciones mediante tablas en los siguientes ejercicios.


Ejemplo:

En el siguiente applet podrás observar diferentes ejemplos de operaciones con funciones.
Haz click en el boton para obtener los diferentes resultados.
si no sirve

Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

  • Representar la suma, resta y multiplicación de funciones como tabla, gráfica o fórmula.
  • Representar la división de funciones como tabla, o fórmula.
  • Sumar, restar, multiplicar y dividir funciones.