Funciones Polinómicas y sus Raíces


Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

  • Identificar funciones polinómicas.
  • Identificar las raíces de un polinomio.
  • Comportamiento de una gráfica cerca de raíces simples dobles y triples.
  • Explicar el concepto de raices imaginarias y el teorema fundamental del álgebra.

Introducción

Hemos estudiado las funciones lineales y las funciones cuadráticas. Estas funciones son casos especiales de funciones polinómicas.

Las funciones polinómicas nos permiten modelar muchas aplicaciones de la vida real.

En este tutorial haremos una introducción a las funciones polinómicas y cómo obtener las raíces de estas funciones.


Definición

En la lección de Expresiones Algebraicas y Polinomios aprendimos a identificar polinomios y sus componentes. Ahora vamos a estudiar funciones definidas por polinomios.

Una función polinómica en x de grado n es una función de la forma:

function machine

Donde n es un entero no negativo y cada coeficiente de x es un número real.

La representación anterior es conocida como la forma general de una función polinómica.



Raíces de una Función Polinómica


Una raíz a de una función polinómica es un valor donde f(a)=0


Lo anterior significa que, para encontrar las raíces de la función polinómica f, resolvemos la ecuación f(x)=0.

Recordemos que en la lección resolución de ecuaciones, aprendimos que si A×B=0 entonces A=0 o B=0.

Por lo tanto, necesitamos factorizar f(x), e igualar cada factor a cero. En la lección Factorización por agrupación aprendimos a factorizar polinomios.


Ejemplo 1:

Encontrar las raíces de la función f x = x 3 + 3 x 2 + 2 x

Solución:

Buscamos resolver la ecuación f(x)=0. Factorizando la expresión obtenemos:

f x = x x+1 x+2

Recordemos que si A×B=0 entonces A=0 o B=0. Por lo que:

x = 0

o

x+1 = 0 x = -1

o

x+2 = 0 x = -2

Las raíces de la función f x = x 3 + 3 x 2 + 2 x son x=0, x=-1 y x=-2

Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente:

x al cuadrado


Ejemplo 2:

Encontrar las raíces de la función f x = x 3 + 5 x 2 + 4 x

Solución:

Buscamos resolver la ecuación f(x)=0. Factorizando la expresión obtenemos:

f x = x x+1 x+4

Recordemos que si A×B=0 entonces A=0 o B=0. Por lo que:

x = 0

o

x+1 = 0 x = -1

o

x+4 = 0 x = -4

Las raíces de la función f x = x 3 + 5 x 2 + 4 x son x=0, x=-1 y x=-4

Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente:

x al cuadrado



Raíces dobles y triples

Una raíz a de una función polinómica f es una raíz doble si x-a2 es factor de f(x).

Una raíz a de una función polinómica f es una raíz triple si x-a3 es factor de f(x).


Las raíces dobles tienen multiplicidad 2 y las raíces triples tienen multiplicidad 3. Podemos ampliar el concepto para raíces que se repiten multiples veces.

Definición:

La multiplicidad de una raíz es el número de veces que la raíz se repite.

 

Ejemplo 1:

Encontrar las raíces de la función f x = x 3 + 2 x 2 + x

Solución:

Buscamos resolver la ecuación f(x)=0. Factorizando la expresión obtenemos:

f x = x x+12

Por lo que:

x = 0

o

x+1 = 0 x = -1

Las raíces de la función f x = x 3 + 2 x 2 + x son x=0 y x=-1

Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente:

x al cuadrado0

Vemos que el factor (x+1) aparece dos veces. Este genera una raíz doble x=-1. Vemos en la gráfica que la curva toca el eje x pero no lo cruza.

Ejemplo 2:

Encontrar las raíces de la función f x = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1

Solución:

Buscamos resolver la ecuación f(x)=0. Factorizando la expresión obtenemos:

f x = x+13

Por lo que:

x+1 = 0 x = -1

La raíz de la función f x = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 es x=-1

Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente:

x al cuadrado

Vemos que el factor (x+1) aparece tres veces. Este genera una raíz triple x=-1. Vemos en la gráfica que la curva toca el eje x y lo cruza. En general,

La gráfica de una función polinómica f con raíz doble a, toca el eje x en x=a.

La gráfica de una función polinómica f con raíz triple a, cruza el eje x en x=a.




Haga clic en el siguiente enlace para practicar la forma de hallar las raices de un polinomio:


Raíces imaginarias y complejas

Ejemplo 1:

Encontrar las raíces de la función f x = x 3 + x

Solución:

Buscamos resolver la ecuación f(x)=0. Factorizando la expresión obtenemos:

f x = x x 2 +1

Recordemos que siempre es posible utilizar la fórmula cuadrática cuando es dificil encontrar los factores. De la expresión anterior:

x = 0

o

x 2 +1 = 0 x 2 = -1 x = ± - 1 x = ± i

Las raíces de la función f x = x 3 + x son x=0, x=i y x=-i

La gráfica de esta función es la siguiente:

x al cuadrado0

En la gráfica podemos visualizar la raíz real x=0. Este polinomio tiene una raíz real y dos raíces imaginarias, en total 3 raíces complejas.


Ejemplo 2:

Encontrar las raíces de la función f x = x 3 - 4 x 2 + 5 x

Solución:

Buscamos resolver la ecuación f(x)=0. Factorizando la expresión obtenemos:

f x = x x 2 - 4 x + 5

Recordemos que siempre es posible utilizar la fórmula cuadrática cuando es dificil encontrar los factores. De la expresión anterior:

x = 0

o

x = 4 ± 4 2 4 1 5 2 1
x = 4 ± 16 20 2
x = 4 ± 4 i 2
x = 4 ± 2 i 2
x = 2 ± i

Las raíces de la función f x = x 3 - 4 x 2 + 5 x son x=0, x=2+i y x=2-i

La gráfica de esta función es la siguiente:

x al cuadrado

En la gráfica podemos visualizar la raíz real x=0. Es importante notar que el punto de inflexión señalado por la flecha, no toca el eje x. Esto es un indicativo de la existencia de raíces con parte imaginaria. Este polinomio tiene 3 raíces complejas.


En la lección de números complejos aprendimos el concepto de conjugado de un número complejo. Nota que en los ejemplos anteriores, las raíces complejas vienen en pares conjugados.

Por ejemplo:

Las raíces complejas de la función f x = x 3 + x son los pares conjugados x=i y x=-i

Las raíces complejas de la función f x = x 3 - 4 x 2 + 5 x son los pares conjugados x=2+i y x=2-i


Teorema Fundamental del Algebra

La función f(x)=axn+ an-1 xn-1 + ··· + a2 x2 + a1 x + a0 , siempre puede ser escrita así:

f x = a x-c1 x-c2 ... x-cn

Donde los valores ci, i=1,2,...,n son números complejos.

Ejemplo 1:

Encontrar todos los factores complejos de la función f x = x 3 - 4 x 2 + 5 x

Solución:

Factorizando la expresión obtenemos:

f x = x x 2 - 4 x + 5

Recordemos que siempre es posible utilizar la fórmula cuadrática cuando es dificil encontrar los factores. De la expresión anterior:

x = 0

o

x = 4 ± 4 2 4 1 5 2 1
x = 4 ± 16 20 2
x = 4 ± 4 i 2
x = 4 ± 2 i 2
x = 2 ± i

Las raíces de la función f x = x 3 - 4 x 2 + 5 x son x=0, x=2+i y x=2-i

Ahora, podemos utilizar las raíces para escribir la función en su forma factorizada:

f x = x 3 - 4 x 2 + 5 x = x x-2+i x-2-i



Ejemplo 2:

Encontrar todos los factores complejos de la función f x = x 4 - 1

Solución:

Factorizando la expresión obtenemos:

f x = x 2 - 1 x 2 + 1 f x = x - 1 x + 1 x 2 + 1 f x = x - 1 x + 1 x - i x + i

Solución:

f x = x 4 - 1 = x - 1 x + 1 x - i x + i



No siempre es fácil convertir un polinomio a su forma factorizada pero sabemos que siempre es posible escribirlo en esa forma.


Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

  • Identificar funciones polinómicas.
  • Identificar las raíces de un polinomio.
  • Comportamiento de una gráfica cerca de raíces simples dobles y triples.
  • Explicar el concepto de raices imaginarias y el teorema fundamental del álgebra.