Funciones Trigonométricas Inversas


Objetivos

  • Conociendo un valor para sen(x), cos(x) o tan(x) y haciendo uso del círculo unitario cada estudiante determinará correctamente posibles valores x.
  • Luego de determinar posibles valores de x habiendo conocido un valor para diferentes funciones trigonométricas, cada estudiante definirá con exactitud funciones trigonométricas inversas.
  • Luego de trabajar con diferentes valores para determinar la función trigonométrica inversa, cada estudiante explicará correctamente por qué es necesario restringir el domino para que la inversa de sen(x), cos(x) y tan(x) existan.
  • Estudiadas las funciones trigonométricas inversas, cada estudiante las graficará sin error.

Introducción

En las lecciones de El Círculo Unitario y Otras Funciones Trigonométricas, definimos las funciones seno, coseno y tangente de la siguiente manera:

trigonometric functions

Por otro lado, en la lección de Inversas de Funciones, determinamos que dos funciones son inversas si para cualquier valor a,

trigonometric functions

En consecuencia, podemos concluir que si a las funciones trigonométricas le restringimos su dominio, las inversas de las funciones trigonométricas pueden representarse así:

trigonometric functions

Más adelante, en este mismo módulo vamos a definir las funciones trigonométricas inversas y las restricciones de su dominio.

 


Encontrando los Ángulos

Utilicemos el siguiente applet del círculo unitario para observar los ángulos, las localizaciones, y los valores respectivos de las funciones seno, coseno y sus inversas.
Utilice el cursor para mover el punto de color verde.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com


Ejemplos



Restringiendo el Dominio de las Funciones Trigonométricas para definir las Inversas

Como pudimos observar en los ejemplos de la sección anterior, dado un valor de las funciones trigonométricas es posible encontrar más de un ángulo que cumpla con este valor.

Si seguimos con el procedimiento de la sección anterior obtendremos las siguientes tablas y gráficas para algunos valores:

Restringiendo el Dominio de la Función sen(x)
sin(x) 0.00 0.50 0.71 0.87 1.00 0.87 0.71 0.50 0.00 -0.50 -0.71 -0.87 -1.00 -0.87 -0.71 -0.50 0.00 0.50 1.00
x 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 390 450
point 1


Analicemos si la tabla y la gráfica obtenidas corresponden a una función:

En la tabla de arriba podemos ver que para la misma entrada 0, le corresponde más de una salida, por lo tanto no es una función.

Gráficamente, en la imagen de la izquierda, vemos por ejemplo que los puntos (0.71,45) y (0.71,135) pertenecen a la gráfica, por lo tanto no es función.

Para comprender este hecho, recordemos que en la lección Inversas de Funciones vimos que para que una función tenga inversa debe ser 1:1. La función sen(x) no es 1:1. Para poder obtener la inversa de la función sen(x) debemos restringir su dominio en un intervalo donde si sea 1:1.

La función sen(x) es 1:1 en el intervalo [-90°,90°] o, en radianes, [-π/2,π/2].

 

Restringiendo el Dominio de la Función cos(x)
cos(x) 1.00 0.87 0.71 0.50 0.00 -0.50 -0.71 -0.87 -1.00 -0.87 -0.71 -0.50 0.00 0.50 0.71 0.87 1.00 0.87 0.00
x 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 390 450
point 1


Analicemos si la tabla y la gráfica obtenidas corresponden a una función:

En la tabla de arriba podemos ver que para la misma entrada 1, le corresponde más de una salida, por lo tanto no es una función.

Gráficamente, en la imagen de la izquierda, vemos por ejemplo que los puntos (0.71,45) y (0.71,315) pertenecen a la gráfica, por lo tanto no es función.

La explicación de este hecho es que la función cos(x) no es 1:1. Para poder obtener la inversa de la función cos(x) debemos restringir su dominio en un intervalo donde si sea 1:1.

La función cos(x) es 1:1 en el intervalo [0°,180°] o, en radianes, [0,π].

Restringiendo el Dominio de la Función tan(x)
tan(x) 0.00 0.58 1.00 1.73 -1.73 -1.00 -0.58 0.00 0.58 1.00 1.73 -1.73 -1.00 -0.58 0.00 0.58
x 0 30 45 60 120 135 150 180 210 225 240 300 315 330 360 390

 


Analicemos si la tabla y la gráfica obtenidas corresponden a una función:

En la tabla de arriba podemos ver que para la misma entrada 1, le corresponde más de una salida, por lo tanto no es una función.

Lo mismo podemos apreciar gráficamente en la imagen de la izquierda, vemos por ejemplo que los puntos (0.71,45) y (0.71,315) pertenecen a la gráfica, por lo tanto no es función.

Esto se debe a que la función tan(x) no es 1:1. Para poder obtener la inversa de la función tan(x) debemos restringir su dominio en un intervalo donde si sea 1:1.

La función tan(x) es 1:1 en el intervalo [-90°,90°] o, en radianes, (-π/2,π/2).



Definición

Las funciones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:

trigonometric functions

 


Tablas y Gráficas de las Funciones Trigonométricas Inversas

 

Funciones Trigonométricas Inversas

Haz Click en Cualquiera de las Funciones

Para practicar ejercicios sobre funciones trinométricas inversas haz click en alguno de los siguiente botones



Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

  • Conociendo un valor para sen(x), cos(x) o tan(x), usar el círculo unitario para conseguir posibles valores de x.
  • Explicar por qué es necesario restringir el domino para que la inversa de sen(x), cos(x) y tan(x) existan.
  • Definir y graficar las funciones trigonométricas inversas.