Conociendo un valor para sen(x), cos(x) o tan(x)
y haciendo uso del círculo unitario cada estudiante determinará correctamente posibles valores x.
Luego de determinar posibles valores de x habiendo conocido un valor para diferentes
funciones trigonométricas, cada estudiante definirá con exactitud funciones trigonométricas inversas.
Luego de trabajar con diferentes valores para determinar la función trigonométrica
inversa, cada estudiante explicará correctamente por qué es necesario restringir el
domino para que la inversa de sen(x), cos(x) y tan(x) existan.
Estudiadas las funciones trigonométricas inversas, cada estudiante las graficará sin error.
Por otro lado, en la lección de Inversas de Funciones, determinamos que dos funciones son inversas si para cualquier valor a,
En consecuencia, podemos concluir que si a las funciones trigonométricas le restringimos
su dominio, las inversas de las funciones trigonométricas pueden representarse así:
Más adelante, en este mismo módulo vamos a definir las funciones trigonométricas inversas y las
restricciones de su dominio.
Utilicemos el siguiente applet del círculo unitario para observar los ángulos, las localizaciones, y los valores respectivos de las funciones seno, coseno y sus inversas.
Utilice el cursor para mover el punto de color verde.
Si sen (x) = 0.5, Cuanto vale x? Solución:
sen (x) = 0.5 implica que x es el ángulo que corresponde
a la localización con coordenada y = 0.5 en el círculo
unitario.
Observando la imagen encontramos que los ángulos
que cumplen con esta condición son 30° y 150° .
Además, esta condición también se cumple para todos los ángulos
coterminales con 30° y 150° . Por ejemplo 390°, 510°, ...
Si cos (x) = - 0.5, Cuanto vale x? Solución:
cos (x) = - 0.5 implica que x es el ángulo que corresponde
a la localización con coordenada x = -0.5 en el círculo unitario.
Observando la imagen encontramos que los ángulos
que cumplen con esta condición son 120° y 240° .
Además, esta condición también se cumple para todos
los ángulos coterminales con 120° y 240° . Por ejemplo 480°, 600°, ...
Si sen (x) = 0, Cuanto vale x? Solución:
sen (x) = 0.5 implica que x es el ángulo que corresponde a la
localización con coordenada y = 0 en el círculo unitario.
Observando la imagen encontramos que los ángulos que cumplen
con esta condición son 0° y 180°
Además, esta condición también se cumple para todos los ángulos
coterminales con 0° y 180° . Por ejemplo 360°, 540°, ...
Si tan (x) = 1, Cuanto vale x? Solución:
tan (x) = 1 implica que x es el ángulo que corresponde a la
localización con coordenada x = coordenada y en el círculo unitario..
Observando la imagen encontramos que los ángulos que cumplen
con esta condición son 45° y 225°
Además, esta condición también se cumple para todos los ángulos
coterminales con 45° y 225° . Por ejemplo 405°, 585°, ...
Como pudimos observar en los ejemplos de la sección anterior, dado un valor de las funciones trigonométricas es posible encontrar más de un ángulo que cumpla con este valor.
Si seguimos con el procedimiento de la sección anterior obtendremos las siguientes tablas y gráficas para algunos valores:
Restringiendo el Dominio de la Función sen(x)
sin(x)
0.00
0.50
0.71
0.87
1.00
0.87
0.71
0.50
0.00
-0.50
-0.71
-0.87
-1.00
-0.87
-0.71
-0.50
0.00
0.50
1.00
x
0
30
45
60
90
120
135
150
180
210
225
240
270
300
315
330
360
390
450
Analicemos si la tabla y la gráfica obtenidas corresponden a una función:
En la tabla de arriba podemos ver que para la misma entrada 0, le corresponde más de una salida, por lo tanto no es una función.
Gráficamente, en la imagen de la izquierda, vemos por ejemplo que los puntos (0.71,45) y (0.71,135) pertenecen a la gráfica, por lo tanto no es función.
Para comprender este hecho, recordemos que en la lección Inversas de Funciones vimos que para que una función tenga inversa debe ser 1:1. La función sen(x) no es 1:1. Para poder obtener la inversa de la función sen(x) debemos restringir su dominio en un intervalo donde si sea 1:1.
La función sen(x) es 1:1 en el intervalo [-90°,90°] o, en radianes, [-π/2,π/2].
Restringiendo el Dominio de la Función cos(x)
cos(x)
1.00
0.87
0.71
0.50
0.00
-0.50
-0.71
-0.87
-1.00
-0.87
-0.71
-0.50
0.00
0.50
0.71
0.87
1.00
0.87
0.00
x
0
30
45
60
90
120
135
150
180
210
225
240
270
300
315
330
360
390
450
Analicemos si la tabla y la gráfica obtenidas corresponden a una función:
En la tabla de arriba podemos ver que para la misma entrada 1, le corresponde más de una salida, por lo tanto no es una función.
Gráficamente, en la imagen de la izquierda, vemos por ejemplo que los puntos (0.71,45) y (0.71,315) pertenecen a la gráfica, por lo tanto no es función.
La explicación de este hecho es que la función cos(x) no es 1:1. Para poder obtener la inversa de la función cos(x) debemos restringir su dominio en un intervalo donde si sea 1:1.
La función cos(x) es 1:1 en el intervalo [0°,180°] o, en radianes, [0,π].
Restringiendo el Dominio de la Función tan(x)
tan(x)
0.00
0.58
1.00
1.73
-1.73
-1.00
-0.58
0.00
0.58
1.00
1.73
-1.73
-1.00
-0.58
0.00
0.58
x
0
30
45
60
120
135
150
180
210
225
240
300
315
330
360
390
Analicemos si la tabla y la gráfica obtenidas corresponden a una función:
En la tabla de arriba podemos ver que para la misma entrada 1, le corresponde más de una salida, por lo tanto no es una función.
Lo mismo podemos apreciar gráficamente en la imagen de la izquierda, vemos por ejemplo que los puntos (0.71,45) y (0.71,315) pertenecen a la gráfica, por lo tanto no es función.
Esto se debe a que la función tan(x) no es 1:1. Para poder obtener la inversa de la función tan(x) debemos restringir su dominio en un intervalo donde si sea 1:1.
La función tan(x) es 1:1 en el intervalo [-90°,90°] o, en radianes, (-π/2,π/2).