Semejanza de triángulos


  Objetivos:


  Introducción

Recordemos que un triángulo es un polígono que es una porción del plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos y que tiene tres lados y tres ángulos.
Denotaremos cada ángulo por una letra mayúscula y los lados por letras minúsculas.


  Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivos de igual medida y sus lados son proporcionales. El signo de semejanza es :

Δ A B C Δ A B C

Si m A = m A , m B = m B , m C = m C y A B A B = B C B C = C A C A = k , entonces Δ A B C Δ A B C

Definición: Dos lados son homólogos si se oponen a ángulos de igual medida.
En la figura anterior, los lados A B y A B , B C y B C , y C A y C A , son homólogos.


   Criterios de semejanza de triángulos

Caso 1. Si tiene dos ángulos respectivamente iguales.

Si m A = m A y m B = m B , entonces Δ A B C Δ A B C .

En la siguiente aplicación puedes visualizar este criterio de semejanza moviendo los deslizadores del lado izquierdo. Los ángulos cambian al mover en forma circular los puntos H e I de color azul.

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Caso 2. Si tiene dos lados proporcionales y el ángulo comprendido es igual.

Si m C = m C y B C B C = C A C A , entonces Δ A B C Δ A B C .

En la siguiente aplicación puedes visualizar este criterio de semejanza moviendo los deslizadores del lado izquierdo. El ángulo cambia al mover en forma circular el punto H de color azul.

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Caso 3. Si tiene sus tres lados proporcionales.

Si A B A B = B C B C = C A C A , entonces Δ A B C Δ A B C .

En la siguiente aplicación puedes visualizar este criterio de semejanza moviendo los deslizadores del lado izquierdo.

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Ejemplos

1. En los siguientes triángulos, si m A = m A y m B = m B , halle b 1 y c 1 .


Se cumple el caso 1, entonces los triángulos son semejantes y se puede determinar b1 y c1.

En Δ A B C el lado c1 corresponde al lado de longitud 4 en Δ ABC.

En Δ A B C el lado b1 corresponde al lado de longitud 3 en Δ ABC.

En Δ A B C el lado de longitud 10 corresponde al lado de longitud 5 en Δ ABC.

Por lo tanto, se tiene la relación:
c 1 4 = b 1 3 = 10 5 = 2
de donde se tienen la ecuaciones básicas:
c 1 4 = 2 c 1 = 8 y b 1 3 = 2 b 1 = 6

2. Dados los siguientes triángulos, son semejantes?:


Calculamos las proporciones:
21 7 = 3 , 15 5 = 3 , 27 9 = 3
las razones correspondientes son iguales, por lo tanto tenemos el caso 3 y se tiene:

Δ A B C Δ A B C .

3. Dado que AB es paralelo a DE y los segmentos AE y BD se intersectan en el punto C, determine si los triángulos ABC y CDE son semejantes y si los son halle la longitud del lado AC.



Los dos triángulos son rectángulos, por lo tanto tienen un ángulo correspondiente que son de igual medida, los ángulos α y β son opuestos por el vértice, por lo tanto son de igual medida y se cumple el caso 1 y por lo tanto se cumple:

A B D E = A C 12 = 15 10 A C 12 = 15 10
y resolviendo para
A C = 15 × 12 10 = 18


  Práctica

Presione el boton para practicar ejercicios de semejanza de triángulos.



  Resumen

Ahora que has terminado esta lección debes ser capaz de:



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