Introducción a Desigualdades


Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

  • Reconocer cuando una desigualdad es cierta o falsa
  • Aplicar la propiedad transitiva de desigualdades
  • Usar propiedades de desigualdades para solucionar inecuaciones

Introducción:

Es la última semana del semestre, Tato necesita obtener un promedio mayor que 65 para aprobar el curso de química. El peso relativo de cada prueba del curso y las notas obtenidas por Tato se desglosan en la siguiente tabla.

Peso RelativoNota de Tato
Prueba 115%68
Prueba 230%54
Prueba 335%66
Examen Final25%x

Si se calcula el promedio siguiendo las puntuaciones y sus pesos relativos tenemos:

la nota en la clase =15100×68+30100×54+35100×66+25100×x=0.25x+49.5


La nota x, en el examen final, que necesita obtener Tato para pasar el curso, está en el conjunto de valores que satisfacen:

0.25x+49.5>65


Ahora le toca a Tato convertir esta relación, en una expresion como x > (algún valor) para que sepa con cuales notas en el examen final se asegura de pasar la clase. En esta y las próximas lecciones asociadas con inecuaciones, aprenderás a resolver inecuaciones como la anterior. Verás que la presencia del signo de desigualdad en el enunciado tiene consecuencias tanto sobre el procedimiento de encontrar la solución como con la interpretación de la solución. !Éxito!

Definiciones:


Si a, b pertenecen a los Números Reales , entonces escribimos
a < b
si a es menor que b. Otro manera de decir eso es que a se localiza a la izquierda de b en la recta real.




Si a, b pertenecen a los Números Reales , entonces escribimos
a > b
si a es mayor que b. Otro manera de decir eso es que a se localiza a la derecha de b en la recta real.




Una consecuencia natural de estas definiciones es que

a > b si y sólo si b < a




Los símbolos (“ menor o igual a ”) y (“ mayor o igual a ”) se definen de la siguiente manera:


  a ≤ b si y sólo si   a < b ó a = b

a ≥ b si y sólo si   a > b ó a = b




Las relaciones a < b, a > b, a b y a b se llaman desigualdades



Las representaciones del “conjunto solución ” de desigualdades en una variable (inecuaciones) se discutirán en la próxima lección acerca de intervalos.
En esta lección discutiremos definiciones, propiedades y el uso de propiedades para resolver inecuaciones.



Propiedades de las Desigualdades.

Sean a, b, c números reales

Propiedad # 1: Transitiva

Si a < b    y    b < c   entonces   a < c


Ya que a está a la izquierda b y b está a la izquierda de c. Entonces a está a la izquierda de c.

Ilustraciones:

 - 3 < 9     y     9 < 12     entonces -3 < 12

Ya que a está a la izquierda b y b está a la izquierda de c. Entonces a está a la izquierda de c.


 -5 < -2    y     -2 < 0      entonces -5 < 0

Ya que a está a la izquierda b y b está a la izquierda de c. Entonces a está a la izquierda de c.






Propiedad # 2: Suma y Resta


Si a < b y c es un número real entonces,

a + c < b + c     y      a – c < b –  c 

Sea c=2

Sea c=-3


Ilustraciones:

 -3 < 9      entonces       -3 + 6 < 9 + 6

Ya que -3 esta a la izquierda de 9, entonces si sumamos 6 a ambos. Entonces -3+6 también está a la izquierda de 9+6.

 -3 < 9      entonces      -3 – 6 < 9 – 6


Ya que -3 está a la izquierda de 9, entonces si restamos 6 a ambos. Entonces -3-6 tambeinén está a la izquierda de 9+6.




Propiedad # 3: Multiplicación


Si a < b y c es un número real positivo entonces

ca  < cb


Ilustración:

 -3 <4      entonces      2(-3) < 2(4)





Si a < b y c es un número real negativo entonces,

 ca  > cb   

Ilustración:    -2 es un número negativo

 -3 <4      entonces      (-2)(-3) > (-2)(4)






Propiedad # 4: División


Si a < b y c es un número real positivo entonces

ac<bc


Ilustración:

 -3 < 9      entonces       - 33<93



Si a < b y c es un número real negativo entonces,

ac>bc

Ilustración:    -3 es un número negativo

 -3 < 9      entonces      -3 -3>9-3





Usando Propiedades para Simplificar Inecuaciones Sencillas

Objetivo: Dada una desigualdad que contiene la incógnita x , nuestro objetivo es usar las propiedades de desigualdades para aislar la variable x a un lado del signo de desigualdad. Al otro lado del signo de desigualdad tendremos entonces la solución.


Ejemplos

Ejemplo 1: Simplificar 5 + x < 9 .

Solución: Nuestro objetivo es convertir

5 + x < 9
en
x < ...
Para hacer eso utilizamos los siguientes pasos


Paso 1.
Identificar la operación inversa necesaria para aislar x.
En este caso: restar 5


Paso 2.
Utilice la propiedad # 2: reste 5 a ambos lados de la desigualdad.

5 + x - 5 <+ 9 - 5

Asi la inecuación simplificada es

x < 4

Ejemplo 2: Simplificar x 2 + 3 < 2.

Solución: Nuestro objetivo es convertir

x 2 + 3 < ... o escrito de otra manera: x ( 1 2 ) + 3 < . . .

en
x < ...

así que utilizaremos los siguientes pasos:


Paso 1.
Identificar la operación inversa necesaria para aislar el término que contiene la variable x. En este caso: restar 3


Paso 2.
Utilice la propiedad # 2: reste 3 a ambos lados de la desigualdad

x 2 + 3 3 < 2 3

Asi la inecuación que resulta es:
x 2 < 1


Paso 3.
Utilice la propiedad # 3: multiplique por 2 (operación inversa de la división) ambos lados de la desigualdad

x 2 × 2 < 1 × 2

Asi la inecuación simplificada es
x < 2

Ejemplo 3: Simplificar -3 x + 1>7.

Solución: Nuestro objetivo es convertir

-3 x + 1>...

en
x < ...

así que utilizaremos los siguientes pasos:


Paso 1.
Identificar la operación inversa necesaria para aislar el término que contiene la variable x. En este caso: restar 1


Paso 2.
Utilice la propiedad # 2: reste 1 a ambos lados de la desigualdad

-3 x + 1 1 > 7 1

Asi la inecuación que resulta es:
-3 x > 6


Paso 3.
Utilice la propiedad # 4: divida por -3 ambos lados de la desigualdad

-3 x -3 > 6 -3

Es importante recordar que división y multiplicación con un número negativo cambia la dirección de la desigualdad así la inecuación simplificada es
x < 2


Resumen

Ya que has concluido esta lección, debes ser capaz de:

  • Reconocer cuando una desigualdad es cierta o falsa
  • Aplicar la propiedad transitiva de desigualdades
  • Usar propiedades de desigualdades para solucionar inecuaciones