Definición. Una serie geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón, que se representa por r. |
Según la definición anterior, en la serie geométrica a1, a2, a3, a4, a5,..., an, se verifica:
a2 = a1 · r
a3 = a2 · r = a1 · r · r = a1 · r 2
a4 = a3 · r = a1 · r 2 · r = a1 · r 3
Generalizando este proceso se obtiene el término general:
Observemos que en la serie geométrica:
3, 6, 12, 24, 48
el producto de los términos extremos es:
3 · 48 = 144
y que el producto de los términos equidistantes de los extremos es también 144.
En general, en una serie geométrica finita se verifica:
a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an
En una serie geométrica finita, el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos.
Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula del producto de n términos consecutivos de una serie geométrica. Llamemos Pn al producto de los n términos y escribamos el producto dos veces, invirtiendo los factores en una de ellas.
Como hay n paréntesis y el valor de cada uno es (a1 · an) se tiene:
de donde:
Si queremos calcular la suma de los términos de la serie geométrica finita a1, a2, a3,..., an-1, an, escribimos la suma Sn de los n términos y después multiplicamos por la razón.
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Sn· r = a1· r + a2· r + ... + an-1· r + an· r
Ahora restamos Sn· r - Sn teniendo en cuenta que a1· r = a2, a2· r = a3, etc.
Sn· r - Sn = an· r - a1 → Sn· (r - 1) = an· r - a1,
de donde:
Usando la expresión del término general de una serie geométrica an = a1· rn, se puede obtener la fórmula de la suma en función de a1 y r así:
es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por
Para el término general:
Para el producto de los primeros n términos:
Para la suma de los primeros n términos:
Dada la suma de la serie geométrica:
La razón común de esta serie es 2. Multiplicando por 2 cada término, se obtiene:
Para el término general:
a2 = a1 · r
No se cumple para el primer término, por lo tanto no es una serie geométrica
Conclusiones: Haz completado el tutorial de Series Geométricas. Debes ser capaz de identificar series geométricas, y de encontral el n-ésimo término de las misma. Calcular las sumas y los productos de las series dadas, usando las respectivas formulas. Ademas dado el n-ésimo término de una serie, debes ser capaz de encontrar cualquier término de la misma. |