Sistemas de numeración


1 Objetivos:

  1. Conocer los subconjuntos de los números reales.
  2. Reconocer las relaciones entre subconjuntos de los números reales.
  3. Representar números reales en la recta real.
  4. Entender y aplicar las axiomas de los números reales.

2 Introducción

El sistema de los números reales ha evolucionado con el tiempo y está relacionado con el significado de la palabra número, y son parte de nuestra vida diaria. Se usa continuamente y de manera inconsciente, en simples cálculos, en las cuentas de la casa, el banco, el presupuesto, la hora, compras, ventas, etc.

Luego las operaciones entre números aparecieron como reflejo de las relaciones entre objetos concretos, así por ejemplo se estableció que una suma no depende del orden de los sumandos. A medida que la sociedad iba evolucionando, el hombre se vio ante la necesidad de perfeccionar los nombres y símbolos de los números y posteriormente la introducción de signos y designación literal de las incógnitas o variables.

Por ejemplo, los babilonios tenían un sistema de escritura de los números que era parcialmente decimal y parcialmente sexagesimal. En sus últimas escrituras cuneiformes ya apareció el cero, aunque fueron los indios los que verdaderamente lo introdujeron, al que llamaron "vacío", y les permitió elaborar un sistema de escritura análogo al que se usa en la actualidad. Los antiguos griegos y posteriormente los rusos, hicieron uso de letras para designar números siendo, no obstante, los árabes los que trajeron a Europa de la India nuestros símbolos actuales y el método de formación de números.

En el estudio de los números reales se considera el sistema decimal cuyos símbolos llamadas cifras son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

3 Diferentes tipos de números

Se puede decir que un número es una entidad abstracta que representa una cantidad, a continuación se definen los diferentes tipos de números:

3.1 Números naturales

Son los números usados por los hombres para contar objetos. Se representan por la letra N y los elementos de este conjunto son:
N={1,2,3,,}

3.2 Números enteros

Es el conjunto de números que contiene tanto los valores enteros positivos (o naturales), el cero y los negativos (enteros negativos). Se caracterizan porque siempre van precedidos de un signo que los identifica: '+' para los positivos o '-' para los negativos. Se representan por la letra Z (en alemán, Zahl, significa número) y los elementos de este conjunto son:
Z={,,-3,-2,-1,0,1,2,3,,}

Para designar al conjunto de todos los números enteros, se considera:

Z- ={,,-3,-2,-1}, enteros negativos

Z+ ={1,2,3,,}=N, enteros positivos


En otras palabaras, el conjunto de los números enteros se puede representar como:
Z=Z- {0}Z+

3.3 Números racionales

Es el conjunto de los números que se pueden expresar como una fracción de dos números enteros, donde el denominador debe ser diferente de cero. Se representa por la letra Q y sus elementos son de la forma:
Q={ a b |aZ,bZ,b0}

El conjunto de los números racionales contiene a los números enteros porque cada entero se puede escribir como una fracción con denominador 1.

Además, todonúmero racional tiene michas representaciones, por ejemplo: 2 3 es equivalente a 4 6 ó 44 66 .

Por otro lado, cada número racional tiene una representación decimal que se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador y son:

3.3.1 Decimal finito

Aquellos que tienen división exacta, por ejemlo: 4 5 =0.8, 3 5 =0.6, 7 5 =1.4

3.3.2 Decimal infinito

Aquellos cuya división es periódica infinita, por ejemplo: 2 3 =0.666, 4 11 =0.36363636

3.4 Números irracionales

Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como la fracción de dos números entreros y se denotan por la letra I. Son números decimales que no tienen ningún patrón, es decir, su expresión decimal es ilimitada y no periódica. Por ejemplos:
2=1.414213562373,
3=1.732050808756,
π=3.1415926535897


3.5 Subconjuntos de los Números Reales

El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números racionales y todos los números irracionales, se denotan por la letra R y

R={x|x es racional o x es irracional}

La siguiente gráfica representa la clasificación de los números:

Reales (R){ Racionales (Q){ Enteros (Z){ Enteros negativos (Z- ){,,-3,-2,-1} Cero {0} Enteros positivos (Z+ ) o números naturales {1,2,3,,} Decimales (D){ Finitos división es exacta Infinitos división es periódica infinita Irracionales (I)

En términos de conjuntos se tienen las siguientes relaciones:
Z=Z- {0}Z+
NZQ
R=QI

3.6 Ejemplos

1. El número 2 es un: { número natural número entero positivo número racional
y por lo tanto es un número real.
2. El número -9 es un: { número entero negativo número racional
y por lo tanto es un número real
3. El número 16 5 =3.2 es un: { número racional número decimal finito
y por lo tanto es un número real.
4. El número 2 9 =0.2222222222 es un: { número racional número decimal periódico infinito
y por lo tanto es un número real.
5. El número e=2.718281828 es un número irracional y por lo tanto es un número real.





4 La recta real

Si en una recta se identifica un origen, el cero (0) y se marca la longitud unidad, a cada punto le corresponde un número racional o un número irracional. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real le corresponde un único punto sobre la recta . Por esta razón a la recta numérica se le llama la recta real.

4.1 Representación de números sobre la recta real

Todo número real puede representarse en la recta real, dependiendo del tipo de número.

4.1.1 Representación de naturales, enteros o decimales finitos

Se puede determinar con precisión el punto que le corresponde sobre la recta real. Por ejemplo, represente en la recta real los siguientes números: -2, 3 4 ,4.

En la siguiente gráfica se vuelve a representar el número racional 3 4 en una escala más pequeña:

4.1.2 Representación de decimales infinitos o periódicos

Pueden expresarse en forma de fracción y representar la fracción (se divide cada unidad en tantas partes como tenga en denominador y se toman tantas como tenga el numerador) o se representa directamente el número decimal. Por ejemplo: 4 7 =0.571428571428

4.1.3 Representación de números irracionales

Un número irracional se representa en la recta real en forma aproximada, ya sea en su forma decimal, o a través de otra representación. Por ejemplo, represente en la recta real los números: 0.320314567 y 5





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Axiomas del Sistema de Números reales

5.1 Axiomas de la igualdad

Para todo a,b,cR
a=a propiedad reflexiva a=bb=a propiedad simétrica a=b y b=ca=c propiedad transitiva

5.2 Axiomas de la adición

Para todo a,b,cR

a+bR
ley de clausura
a+b=b+a
ley conmutativa
(a+b)+c=a+(b+c)
ley asociativa
Existe el número 0R que satisface a+0=a
existencia y unicidad del elemento neutro
Existe el número (-a)R que satisface a+(-a)=0
existencia y unicidad del opuesto aditivo

Ejemplos

1. 2,3R 2+3=5R, por la ley de clausura


2. -2,2R2+(-2)=0, -2 es el opuesto aditivo de 2.


3. 2,-3R2+(-3)=(-3)+2, por la ley conmutativa

4. -4,2,5R: (-4+2)+5=(-2)+5=3 (-4)+(2+5)=(-4)+7=3 ley asociativa

5.3 Axiomas de la multiplicación

Para todo a,b,cR

a·bR
ley de clausura
a·b=b·a
ley conmutativa
(a·b)·c=a·(b·c)
ley asociativa
!1R:a·1=a
existencia y unicidad de la identidad
Para todo a0, ! a1=1a R :a· a-1 =1
existencia y unicidad del inverso
a·(b+c)=a·b+a·c
ley distributiva de la multiplicación con respecto a la adición
(a+b)·c=a·c+b·c
ley distributiva de la multiplicación con respecto a la adición


Ejemplos
1. 3·5·6=15·6 por ley asociativa


2. ¿Dónde habrán más bolígrafos, en 8 cajas de 10 bolígrafos o en 10 cajas de 8 bolígrafos? En el primer caso se tienen: 8·10=80 bolígrafos En el segundo caso se tienen: 10·8=80 bolígrafos Por lo tanto en las dos combinaciones se tienen la misma cantidad de bolígrafos.


3. Si 3ab=90 y si a= 4 3 , cómo se puede escribir usando la ley asociativa? Si a= 4 3 , se tiene: 3ab=(3·a)b=(3· 4 3 )b=4b4b=90

5.4 Otras Axiomas

Para todo a,b,cR

a·0=0

-a=(-1)a

a(-b)=-(ab)=(-a)b

-(-a)=a

(-a)(-b)=ab



6 Resumen

Ahora que has concluido esta lección, debes ser capaz de:

  1. Conocer los subconjuntos de los números reales.
  2. Reconocer las relaciones entre subconjuntos de los números reales.
  3. Representar números reales en la recta real.
  4. Entender y aplicar las axiomas de los números reales.