Solución de Ecuaciones Lineales - Parte 1


Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

  • Resolver en un paso ecuaciones de la forma: x+a=b , x-a=b ax=b  y xa=b.
  • Resolver ecuaciones de dos pasos de la forma: ax+b=c ax-b=c , xa+b=c y xa-b=c.

Introducción:

Sea x + 1 = 4 . Cuando se sustituye x por distintos valores, tal como se muestra en la tabla, tendremos diferentes expresiones.

x x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5
x+1 = 40+1 = 41+1 = 42+1 = 43+1 = 44+1 = 45+1 = 4

Observa que el único valor de x que resulta en una expresión verdadera es x = 3. Por lo tanto x = 3 es una solución para x + 1 = 4 .
Todos los demás valores posibles de x no resultaron en expresiones verdaderas, por lo tanto no son soluciones para x + 1 = 4.

En esta lección, presentaremos métodos para resolver ecuaciones lineales. Resolver una ecuación es precisamente encontrar el valor de x que la hace verdadera.


Operaciones inversas

Para entender los métodos de esta sección es necesario que recuerdes que cada operación básica tiene una operación a la que llamamos operación inversa porque anula lo que la primera hace. Por ejemplo la suma y la resta son operaciones inversas, la multiplicación y la división también lo son. Es importante notar que la multiplicación y la división son operaciones inversas siempre y cuando el número del que se habla no sea cero. Es decir, no podemos decir que la operación inversa a multiplicar por cero es dividir entre cero.

Ejemplos:

9 + 4 4 = 9 , sumar 4 y restar 4 deshacen el efecto la una de la otra, dejando el valor inicial sin cambio. Por lo tanto, estas son operaciones inversas.

7 × 4 ÷ 4 = 7 , entonces multiplicar por 4 y dividir por 4 deshacen el efecto la una de la otra, dejando el valor inicial sin cambio. Por lo tanto, estas son operaciones inversas.




Ecuaciones balanceadas

El proceso de solución de una ecuación consiste en ir transformando la ecuación en una más sencilla pero que sea equivalente a la anterior, o sea tengan la misma solución. Una igualdad consiste en dos cantidades separadas por el signo igual (=). En química se usa el término de balanceo de ecuaciones, el cual es similar al proceso de pasar de una ecuación matemática a otra equivalente.

Ejemplos:

6 = ( 2 × 3 ) es cierto
6 + 2 = ( 2 × 3 ) + 2 resultado de sumar 2 a ambos lados
8 = 8 es también cierto.
Conclusión: Sumar 2 a ambos lados mantiene la ecuación balanceada, porque corresponde a sumar y restar 2 en cualquiera de los dos miembros de la ecuación.
1.5 = 1.5 es cierto.
1.5 = 1.5 1 resultado de restar 1 de un lado.
1.5 = 0.5 no es cierto
Conclusión: Para mantener la ecuación balanceda es necesario restar 1 de ambos lados. Restar 1 de un sólo lado resultará en una expresión falsa.
9 = ( 3 × 3 ) es cierto.
9 ÷ 9 = ( 3 × 3 ) ÷ 9 resultado de dividir ambos lados por 9.
1 = 1 es también cierto.
Conclusión: Dividir ambos lados por 9 mantiene la ecuación balanceada, porque corresponde a multiplicar y dividir por 9 en alguno de los miembros de la ecuación.

Un error común:

La igualdad

1 + 1 = 2

es obviamente cierta. Sin embargo simplemente colocando ×3 en ambos lados produce

3 × 1 + 1 = 3 × 2

que se reduce a
3 + 1 = 6

la cual no es cierta.

Ya que esto es el resultado de multiplicar todos los elementos de un lado por tres y sólo parte del otro lado por tres. Una buena práctica al multiplicar o dividir ambos lados de la igualdad es en primer lugar encerrar las cantidades de ambos lados en paréntesis. Entonces

1 + 1 = 2 se convierte en ( 1 + 1 ) = ( 2 )
.
Multiplicando ambos lados de la ecuación por tres, produce

3 × ( 1 + 1 ) = 3 ×( 2 )

lo cual es cierto.



Solución de Ecuaciones que Involucran una sola Operación

Ahora estamos listos para resolver ecuaciones que requieren un solo paso para conseguir una ecuación equivalente y aislar x en un lado del signo de igualdad.

Ejemplo 1: Podemos encontrar la solución de x + 1 = 4 con los siguientes pasos:

1. Identificar lo que se debe hacer a fin de tener solo a x en un lado del signo de igualdad (=).
En este caso, tenemos que deshacernos de la suma 1 (+1).
x
+ 1
= 4
2. Identificar la operación inversa que nos permitirá deshacernos de la parte no deseada de la expresión. En este caso el restar 1 (1) es la operación para deshacernos de la suma de + 1.
3. Realizar la operación del paso 2 en ambos lados de la ecuación. x + 1 1 = 4 1
4. Resolver la ecuación x = 3
5. Verificar la solución.
Si sustituimos x = 3 en la ecuación inicial, el resultado es cierto. Por lo tanto nuestra solución es correcta.
3 + 1 = 4

Ejemplo 2: Podemos encontrar la solución de 4 p = 8, o sea   p × 4 = 8 con los siguientes pasos:

1. Identificar lo que se debe hacer a fin de tener solo a x en un lado del signo de igualdad (=).
En este caso, tenemos que deshacernos de la multiplicación por 4 (× 4).
x
× 4
= 8
2. Identificar la operación inversa que nos permitirá deshacernos de la parte no deseada de la expresión. En este caso, dividir por 4 ( ÷ 4) es la operación necsaria para deshacernos de × 4.
3. Realizar la operación del paso 2 en ambos lados de la ecuación. x × 4 ÷ 4 = 8 ÷ 4
4. Resolver la ecuación x = 2
5. Verificar la solución.
Si sustituimos x=2 en la ecuación inicial, el resultado es cierto. Por lo tanto nuestra solución es correcta.
2 × 4 = 8


Resuelve ecuaciones lineales de un paso:




Solución de Ecuaciones que Involucran dos Operaciones


Ejemplo 1:

2 a + 4 = 8 ó 2  ×  a + 4 = 8

El valor de a (solución de la ecuación) puede encontrarse siguiendo los siguientes pasos.

Paso 1:
Identificar los elementos que deben ser removidos para que la variable a sea aislada.
En este caso + 4 y ×  2

Paso 2:
Identificar las operaciones inversas para eliminar estas partes de la expresión. En este caso, + 4 es removido con - 4 y ×  2 es removido con ÷ 2 .

Paso 3:
Es más fácil comenzar eliminando las sumas y restas. Entonces realizar las operaciones necesarias en ambos lados para eliminar + 4 .

2 a + 4 - 4 = 8 - 4
ó
2 a = 4

Paso 4:
Eliminar el × 2 (Es justo lo que hiciste antes en solución en un solo paso).

2  ×  a 2 = 4 2
ó
a = 2

Paso 5:
Verificar la solución:
Al sustituir a = 2 dentro de 2a + 4 = 8 se produce 2 × 2 + 4 = 8 lo cual es cierto. Por lo tanto nuestra solución es correcta.

Ejemplo 2:

3 b - 1 = 8 ó 3  ×  b - 1 = 8

El valor de b (solución) puede encontrarse siguiendo los siguientes pasos. La solución puede encontrarse siguiendo los siguientes pasos.

Paso 1:
Elementos a remover: - 1 y  ×  3

Paso 2:
- 1 es removido con + 1 and × 3 es removido con ÷ 3 .

Paso 3:
Realizar las operaciones necesarias en ambos lados para eliminar - 1 .

3 b - 1 + 1 = 8 + 1

3 b = 9

Paso 4:
Eliminar el × 3

3  ×  b 3 = 9 3

b = 3

Paso 5:
Verificar la solución:
Al sustituir b = 3 dentro de 3b - 1 = 8 se produce 3 × 3 - 1 = 8 lo cual es cierto. Por lo tanto nuestra solución es correcta.

Ejemplo 3:

x 2 + 1 = 7 ó x  ÷  2 + 1 = 7

El valor de x (solución) puede encontrarse siguiendo los siguientes pasos.

Paso 1:
Elementos a remover: + 1 y ÷ 2

Paso 2:
+ 1 es removido con - 1 y ÷  2 es removido con ×  2 .

Paso 3:
Realizar las operaciones necesarias en ambos lados para eliminar + 1 .

x 2 + 1 - 1 = 7 - 1

x 2 = 6

Paso 4:
Eliminar el ÷ 2

x 2  ×  2 = 6  ×  2

x = 12

Paso 5:
Verificar la solución:
Al sustituir x = 12 en la ecuación x 2 + 1 = 7 se produce 12 2 + 1 = 7 lo cual es cierto. Por lo tanto nuestra solución es correcta.

Ejemplo 4:

x 3 - 2 = 4
ó
x  ÷  3 - 2 = 4

El valor de x (solución) puede encontrarse siguiendo los siguientes pasos.

Paso 1:
Elementos a remover: - 2 y ÷ 3

Paso 2:
- 2 es removido con + 2 y ÷  3 es removido con ×  3 .

Paso 3:
Realizar las operaciones necesarias en ambos lados para eliminar - 2 .

x 3 - 2 + 2 = 4 + 2

x 3 = 6

Paso 4:
Eliminar el ÷ 3

x 3 × 3 = 6 × 3

x = 18

Paso 5:
Verificar la solución:
Al sustituir x = 12 en la ecuación x 3 - 2 = 4 se produce 18 3 - 2 = 4 lo cual es cierto. Por lo tanto nuestra solución es correcta.


El siguiente ejercicio te ayudará a identificar los pasos necesarios para resolver ecuaciones lineales de 2 pasos:

Resuelve ecuaciones lineales de dos pasos:



Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

  • Resolver ecuaciones en un paso de la forma x±a=b ,ax=b and xa=b,.
  • Resolver ecuaciones de dos pasos de la forma ax±b=c and xa±b=c,.