Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:
- Resolver en un paso ecuaciones de la forma: y .
- Resolver ecuaciones de dos pasos de la forma: , y
.
Sea
. Cuando se sustituye x por distintos valores, tal como se muestra en la tabla, tendremos diferentes expresiones.
x | x = 0 | x = 1 | x = 2 | x = 3 | x = 4 | x = 5 |
x+1 = 4 | 0+1 = 4 | 1+1 = 4 | 2+1 = 4 | 3+1 = 4 | 4+1 = 4 | 5+1 = 4 |
Observa que el único valor de x que resulta en una expresión verdadera es x = 3. Por lo tanto es una solución para . Todos los demás valores posibles de x no resultaron en expresiones verdaderas, por lo tanto no son soluciones para x + 1 = 4.
En esta lección, presentaremos métodos para resolver ecuaciones lineales. Resolver una ecuación es precisamente encontrar el valor de x que la hace verdadera.
Para entender los métodos de esta sección es necesario que recuerdes que cada operación básica tiene una operación a la que llamamos operación inversa
porque anula lo que la primera hace. Por ejemplo la suma y la resta son operaciones inversas, la multiplicación y la división también lo son. Es importante
notar que la multiplicación y la división son operaciones inversas siempre y cuando el número del que se habla no sea cero. Es decir, no podemos
decir que la operación inversa a multiplicar por cero es dividir entre cero.
Ejemplos:
, sumar 4 y restar 4 deshacen el efecto la una de la otra, dejando el valor inicial sin cambio. Por lo tanto, estas son operaciones inversas.
, entonces multiplicar por 4 y dividir por 4 deshacen el efecto la una de la otra, dejando el valor inicial sin cambio. Por lo tanto, estas son operaciones inversas.
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El proceso de solución de una ecuación consiste en ir transformando la ecuación en una más sencilla pero que sea equivalente a la anterior, o sea tengan la misma solución. Una igualdad consiste en dos cantidades separadas por el signo igual (=).
En química se usa el término de balanceo de ecuaciones, el cual es similar al proceso de pasar de una ecuación matemática a otra equivalente.
Ejemplos:
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es cierto
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resultado de sumar 2 a ambos lados
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es también cierto.
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Conclusión: Sumar 2 a ambos lados mantiene la ecuación balanceada, porque corresponde a sumar y restar 2 en cualquiera de los dos miembros de la ecuación.
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es cierto.
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resultado de restar 1 de un lado.
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no es cierto
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Conclusión: Para mantener la ecuación balanceda es necesario restar 1 de ambos lados. Restar 1 de un sólo lado resultará en una expresión falsa.
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es cierto.
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resultado de dividir ambos lados por 9.
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es también cierto.
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Conclusión: Dividir ambos lados por 9 mantiene la ecuación balanceada, porque corresponde a multiplicar y dividir por 9 en alguno de los miembros de la ecuación.
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Un error común: La igualdad
es obviamente cierta. Sin embargo simplemente colocando ×3 en ambos lados produce
que se reduce a
la cual no es cierta.
Ya que esto es el resultado de multiplicar todos los elementos de un lado por tres y sólo parte del otro lado por tres. Una buena práctica al multiplicar o dividir ambos lados de la igualdad es en primer lugar encerrar las cantidades de ambos lados en paréntesis. Entonces
se convierte en
.
Multiplicando ambos lados de la ecuación por tres, produce
lo cual es cierto.
Ahora estamos listos para resolver ecuaciones que requieren un solo paso para conseguir una ecuación equivalente y aislar x
en un lado del signo de igualdad.
Ejemplo 1: Podemos encontrar la solución de x + 1 = 4 con los siguientes pasos:
1. Identificar lo que se debe hacer a fin de tener solo a x en un lado del signo de igualdad (=). En este caso, tenemos que deshacernos de la suma 1 (+1).
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2. Identificar la operación inversa que nos permitirá deshacernos de la parte no deseada de la expresión. En este caso el restar es la operación para deshacernos de la suma de + 1.
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3. Realizar la operación del paso 2 en ambos lados de la ecuación.
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4. Resolver la ecuación
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5. Verificar la solución. Si sustituimos x = 3 en la ecuación inicial, el resultado es cierto. Por lo tanto nuestra solución es correcta.
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Ejemplo 2: Podemos encontrar la solución de
con los siguientes pasos:
1. Identificar lo que se debe hacer a fin de tener solo a x en un lado del signo de igualdad (=). En este caso, tenemos que deshacernos de la multiplicación por 4 (× 4).
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2. Identificar la operación inversa que nos permitirá deshacernos de la parte no deseada de la expresión. En este caso, dividir por 4 ( ÷ 4) es la operación necsaria para deshacernos de × 4.
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3. Realizar la operación del paso 2 en ambos lados de la ecuación.
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4. Resolver la ecuación
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5. Verificar la solución. Si sustituimos x=2 en la ecuación inicial, el resultado es cierto. Por lo tanto nuestra solución es correcta.
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Resuelve ecuaciones lineales de un paso:
Ejemplo 1:
ó
El valor de (solución de la ecuación)
puede encontrarse siguiendo los siguientes pasos.
Paso 1:
Identificar los elementos que deben ser removidos para que la variable
sea aislada.
En este caso
y
Paso 2:
Identificar las operaciones inversas para eliminar estas partes de la expresión. En este caso,
es removido con
y
es removido con
.
Paso 3:
Es más fácil comenzar eliminando las sumas y restas. Entonces realizar las operaciones necesarias en ambos lados para eliminar
.
ó
Paso 4:
Eliminar el
(Es justo lo que hiciste antes en solución en un solo paso).
ó
Paso 5:
Verificar la solución: Al sustituir a = 2 dentro de 2a + 4 = 8 se produce 2 × 2 + 4 = 8 lo cual es cierto. Por lo tanto nuestra solución es correcta.
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Ejemplo 2:
ó
El valor de b (solución) puede encontrarse siguiendo los siguientes pasos.
La solución
puede encontrarse siguiendo los siguientes pasos.
Paso 1:
Elementos a remover:
y
Paso 2:
es removido con
and
es removido con
.
Paso 3:
Realizar las operaciones necesarias en ambos lados para eliminar
.
Paso 4:
Eliminar el
Paso 5:
Verificar la solución: Al sustituir b = 3 dentro de 3b - 1 = 8 se produce 3 × 3 - 1 = 8 lo cual es cierto. Por lo tanto nuestra solución es correcta.
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Ejemplo 3:
ó
El valor de x (solución) puede encontrarse
siguiendo los siguientes pasos.
Paso 1:
Elementos a remover:
y
Paso 2:
es removido con
y
es removido con
.
Paso 3:
Realizar las operaciones necesarias en ambos lados para eliminar
.
Paso 4:
Eliminar el
Paso 5:
Verificar la solución: Al sustituir x = 12 en la ecuación
se produce
lo cual es cierto. Por lo tanto nuestra solución es correcta.
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Ejemplo 4:
ó
El valor de x (solución)
puede encontrarse siguiendo los siguientes pasos.
Paso 1:
Elementos a remover:
y
Paso 2:
es removido con
y
es removido con
.
Paso 3:
Realizar las operaciones necesarias en ambos lados para eliminar
.
Paso 4:
Eliminar el
Paso 5:
Verificar la solución: Al sustituir x = 12 en la ecuación
se produce
lo cual es cierto. Por lo tanto nuestra solución es correcta.
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El siguiente ejercicio te ayudará a identificar los pasos necesarios para resolver ecuaciones lineales de 2 pasos:
Resuelve ecuaciones lineales de dos pasos:
Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:
- Resolver ecuaciones en un paso de la forma and .
- Resolver ecuaciones de dos pasos de la forma and .
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