Solución de Problemas Verbales con Ecuaciones Lineales


Objectivos

Al terminar esta lección, el estudiante debe ser capaz de:

  1. Convertir una expresión verbal en una ecuación lineal equivalente.
  2. Resolver la ecuación lineal y usar correctamente la solución para encontrar el resultado(s) deseado en el problema verbal asociado.

Introducción:

Muchos problemas en las ciencias, economía, finanza, medicina y muchos otros campos pueden ser traducidos a problemas algebraicos. En esta lección vamos a usar ecuaciones lineales para resolver problemas de:

  • Aritmética.
  • Geometría.
  • Negocios y Finanzas.
  • Velocidad y Movimiento

Aclaración: En esta lección, no se presentan los pasos detallados de cómo resolver ecuaciones lineales. Si necesitas ayuda recurre a los tutoriales anteriores: Solución de ecuaciones lineales I y II.

Método General

La naturaleza del mundo no permite la existencia de un único método que funcione para cualquier situación dada. Sin embargo, la siguiente es una guía general para resolver problemas verbales con ecuaciones lineales.

  1. Convierte cada enunciado en una igualdad
  2. Asigna x a un valor desconocido asociado con el problema.
  3. Lleva a cabo la sustitución necesaria en las igualdades de la parte (1) para obtener una ecuación lineal.
  4. Resuelve la ecuación lineal para obtener el valor de x.
  5. Usa el valor de x para obtener la información que buscamos en el problema verbal.



Problemas en la Aritmética

Ejemplos

Ejemplo 1: La suma de dos números es 18 y el segundo número es el doble del primero. ¿Cuáles son los números?

  1. Convierte cada enunciado en una igualdad:
    EnunciadoEcuación
    La suma de dos números es 18.Primer Número + Segundo Número = 18
    El segundo número es el doble del primeroSegundo Número = 2 Primer Número
  2. Asigna x a un valor desconocido asociado con el problema: Sea x el primer número.
  3. Lleva a cabo la sustitución necesaria en las igualdades de la parte (1) para obtener una ecuación lineal:
  4. EcuaciónSustitución
    Segundo Número = 2 Primer NúmeroSegundo Número = 2 x
    Primer Número + Segundo Número = 18x + 2x = 18
  5. Resuelve la ecuación lineal para obtener el valor de x: Si 2x + x = 18 entonces x = 6.
  6. Usa el valor de x para obtener la información que buscamos en el problema verbal: Primer Número = x = 6. Segundo Número = 2 x = 12. Los dos números son 6 y 12.

Ejemplo 2: La suma de dos números es 15 y el segundo número es tres menos que el primer número. ¿Cuáles son los números?

  1. Convierte cada enunciado en una igualdad:
    EnunciadoEcuación
    La suma de dos números es 15 Primer Número + Segundo Número = 15
    El segundo número es tres menos que el primer número.Segundo Número = Primer Número - 3
  2. Asigna x a un valor desconocido asociado con el problema: Sea x el primer número.
  3. Lleva a cabo la sustitución necesaria en las igualdades de la parte (1) para obtener una ecuación lineal:
  4. EcuaciónSustitución
    Segundo Número = Primer Número - 3Segundo Número = x - 3
    Primer Número + Segundo Número = 15x + x - 3=15
  5. Resolver la ecuación lineal para obtener el valor de x: Si x + x -3= 15 entonces x = 9.
  6. Usa el valor de x para obtener la información que buscamos en el problema verbal: Primer Número = x = 9. Segundo Número = x-3 = 6. Los dos números son 9 y 6.

Oprime el botón de abajo para practicar problemas verbales de la aritmética.


Problemas verbales con Geometría

Ejemplos

Ejemplo 1: El perímetro de un círculo mide 40 cm. ¿Cuál es su radio?

  1. Convierte cada enunciado en una igualdad:
    EnunciadoEcuación
    El perímetro de un círculo mide 40 cm.Perímetro = 40
    Formula de perímetro para el círculoPerímetro = 2π (Radio)
  2. Asigna x a un valor desconocido asociado con el problema: Sea x= Radio.
  3. Lleva a cabo la sustitución necesaria en las igualdades de la parte (1) para obtener una ecuación lineal:
  4. EcuaciónSustitución
    Perímetro = 2π RadioPerímetro = 2π x
    Perímetro = 4040=2π x
  5. Resolver la ecuación lineal para obtener el valor de x: Si 40=2π x entonces x = 40 2 π .
  6. Usa el valor de x para obtener la información que buscamos en el problema verbal: Radio = x = 40 2 π cm.

Ejemplo 2: El largo de un rectángulo es dos veces el ancho. El perímetro del rectángulo es de 30 cm. ¿Cuál es el largo y cuál es el ancho?

  1. Convierte cada enunciado en una igualdad:
    EnunciadoEcuación
    El largo de un rectángulo es dos veces el ancho.Largo = 2(Ancho)
    Formula del perímetro de un rectánguloPerímetro = 2(Largo) + 2(Ancho)
    El perímetro del rectángulo es 30 cm.Perímetro = 30
  2. Asigna x a un valor desconocido asociado con el problema: Sea Ancho = x.
  3. Lleva a cabo la sustitución necesaria en las igualdades de la parte (1) para obtener una ecuación lineal:
  4. EcuaciónSustitución
    Largo = 2 AnchoLargo =2 x
    Perímetro = 3030=2(2 x)+2 x
  5. Resolver la ecuación lineal para obtener el valor de x: Si 30=2(2 x)+2 x entonces x = 5.
  6. Usa el valor de x para obtener la información que buscamos en el problema verbal: Ancho =5 cm. y Largo =10 cm.

Oprime el botón de abajo para practicar problemas verbales en la geometría.


Problemas verbales con aplicaciones de negocios

Ejemplos

Ejemplo 1: Un vendedor de galletas gasta 24.00 dólares en ingredientes y cobra $ 2.00 por cada galleta. Si al final del día su ganancia neta de 88 dólares, ¿cuántas galletas vendió?

  1. Convierte cada enunciado en una igualdad:
    EnunciadoEcuación
    Un vendedor de galletas gasta 24.00 dólares en ingredientes.Ingredientes = 24
    Ingreso $ 2.00 por una galleta.Ingreso = 2(Número de Galletas)
    Ganancia neta de 88 dólaresGanancia neta = 88
    Ganancia netaGanancia neta = Ingreso - Costo de ingredientes
  2. Asigna x a un valor desconocido asociado con el problema: Sea x = Número de galletas vendidas.
  3. Lleva a cabo la sustitución necesaria en las igualdades de la parte (1) para obtener una ecuación lineal:
  4. EcuaciónSustitución
    Ingreso = 2 (Número de Galletas)Ingreso = 2 x
    Ganancia neta = 8888 = 2 x - 24
  5. Resolver la ecuación lineal para obtener el valor de x: Si 88 = 2 x - 24 entonces x = 56.
  6. Usa el valor de x para obtener la información que buscamos en el problema verbal: Vendió 56 Galletas

Ejemplo 2: Un empleado deberá pagar en impuestos 3000.00 dólares, más 1 5 de sus ingresos. Si pagó $ 6500.00 en impuestos, ¿cuánto eran sus ingresos?

  1. Convierte cada enunciado en una igualdad:
    EnunciadoEcuación
    Un empleado deberá pagar en impuestos 3000.00 dólares, más 1 5 de sus ingresos en impuestos.Impuestos = 3000 + 1 5 Ingresos
    El pagó 6500.00 en impuestosImpuestos = 6500
  2. Asigna x a un valor desconocido asociado con el problema: Sea x=Ingresos.
  3. Lleva a cabo la sustitución necesaria en las igualdades de la parte (1) para obtener una ecuación lineal:
  4. EcuaciónSustitución
    Impuestos = 3000 + 1 5 (Ingresos)Impuestos = 3000 + 1 5 (x)
    Impuestos = 65006500 = 3000 + 1 5 (x)
  5. Resolver la ecuación lineal para obtener el valor de x: Si 6500 = 3000 + 1 5 x entonces x = 17500.
  6. Usa el valor de x para obtener la información que buscamos en el problema verbal: Los ingresos son $17500.00.

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Problemas verbales de velocidad y movimiento

Ejemplos

Ejemplo 1: Un coche parte de un punto a 30 millas de Nueva York y se aleja de Nueva York a una velocidad de 40 millas por hora. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que el coche esté a 230 millas de distancia de Nueva York?

  1. Convierte cada enunciado en una igualdad:
    EnunciadoEcuación
    Velocidad de 40 millas por hora.Velocidad = 40
    Un coche comienza a 30 millas de Nueva York, se aleja
    230 millas de distancia de Nueva York,
    Distancia = 200
    Formula de distanciaDistancia = Velocidad × Tiempo
  2. Asigna x a un valor desconocido asociado con el problema: Sea Tiempo = x.
  3. Lleva a cabo la sustitución necesaria en las igualdades de la parte (1) para obtener una ecuación lineal:
  4. EcuaciónSustitución
    Distancia = Velocidad × Tiempo200 = 40 (x)
  5. Resolver la ecuación lineal para obtener el valor de x: Si 200 = 40 x entonces x = 5.
  6. Usa el valor de x para obtener la información que buscamos en el problema verbal: necesita 5 horas.

Ejemplo 2: Un meteorito, inicialmente está a 200 millones de millas de distancia de la tierra. El mismo está viajando hacia la Tierra a con una velocidad de 3 millones de millas por semana. ¿Cuántas semanas deben pasar antes de que el meteoro este a 100 millones de millas de la tierra?

  1. Convierte cada enunciado en una igualdad:
    EnunciadoEcuación
    Velocidad de 3 millones de millas por semana.Velocidad = 3000000
    El meteoro, inicialmente esta a 200 millones de millas de distancia
    hasta llegar a 100 millones de millas de la tierra
    Distancia = 100000000
    Formula de distanciaDistancia = Velocidad × Tiempo
  2. Asigna x a un valor desconocido asociado con el problema: Sea Tiempo = x.
  3. Lleva a cabo la sustitución necesaria en las igualdades de la parte (1) para obtener una ecuación lineal:
  4. EcuaciónSustitución
    Distancia = Velocidad × Tiempo100000000 = 3000000(x)
  5. Resolver la ecuación lineal para obtener el valor de x: Si 100000000 = 3000000 x entonces x = 100 3 33.33333
  6. Usa el valor de x para obtener la información que buscamos en el problema verbal: necesita 33.33333 semanas.

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Resumen

En esta lección, fijamos nuestra atención solo en cuatro tipos de aplicación pero el método ilustrado es una buena guía de cómo usar ecuaciones lineales para encontrar soluciones de problemas verbales en cualquier campo.

Ahora que ha completado esta lección, debes ser capaz de:

  1. Convertir enunciados verbales en ecuaciones lineales.
  2. Resolver la ecuación lineal y usar correctamente la solución para encontrar el resultado(s) deseado en el problema verbal asociado.