Estudiados los conceptos básicos de los ángulos en el plano, cada estudiante definirá
correctamente ángulos:
En posición estándar
Coterminales
Cuadrantales
De referencia
Definido y estudiado el círculo unitario, cada estudiante correctamente identificará
puntos en el mismo y describirá su relación a ángulos en posición estándar.
Haciendo uso del círculo unitario y de ángulos de referencia, cada estudiante evaluará
sin error funciones trigonométricas en ángulos especiales.
Dada la gráfica de una función trigonométrica, cada estudiante determinará con
exactitud el período de la misma.
Para estudiar el círculo unitario y las funciones de seno y coseno, debemos repasar algunas definiciones y conceptos básicos
de los ángulos en el plano.
Un ángulo está formado por un lado inicial, un lado terminal y el vértice, como se muestra en la figura:
En el sistema de coordenadas cartesianas, se dice que un ángulo está en posición estándar cuando el vértice está en el origen y el lado inicial está en el lado positivo del eje x.
Ejemplos:
Como vemos en los ejemplos de arriba, los ángulos positivos se miden en el sentido contrario a las manecillas del reloj; los ángulos negativos se miden en el sentido de las agujas del reloj.
Ángulos Coterminales
Los ángulos que tienen los mismos lados inicial y terminal, se llaman ángulos coterminales.
Ejemplos:
Ángulos Cuadrantales
Los ángulos en posición estándar cuyo lado terminal está en alguno de los ejes coordenados, se llaman ángulos cuadrantales.
Ejemplos:
Ángulos de Referencia
El ángulo de referencia α' de un ángulo α en posición estándar, es el ángulo agudo formado por el lado terminal de α y el eje x.
Ejemplos:
El valor absoluto del resultado de una función trigonométrica en cualquier ángulo es igual al resultado de esa función trigonométrica en su ángulo de referencia. Así el valor de una función trigonométrica para un ángulo que mide más de 90° (o menos que 0°) se puede determinar a partir de su ángulo de referencia. Claro hay que utilizar el cuadrante donde el ángulo está ubicado para determinar el signo correcto.
Recuerda que podemos definir ángulos que describen más de una vuelta alrededor del círculo. Los valores de las funciones seno y coseno son los mismos para ángulos coterminales, por ejemplo sen(390°) = sen(30°). De esta forma los valores de la función se repetirán periódicamente en forma indefinida.
Una función es periódica si hay un intervalo positivo de la variable independiente para la cual su gráfica se repite exactamente, o sea una función f es periódica si existe un valor positivo p tal que f (x+p) = f (x) para todo x. El valor p positivo menor tal que f (x+p) = f (x) para todo x se llama el periodo.
Ejemplos:
1.
La gráfica siguiente muestra una función periódica, pues su gráfica se repite cada 180 unidades. Claro se repite cada 360 unidades, cada 540 unidades y cada múltiplo positivo de 180 también. Como 180 unidades es el valor positivo menor para lo cual la gráfica repite, decimos que el periodo es 180.
2.
La función sen(x) es periódica, pues su gráfica se repite cada 360°. En este caso decimos que el periodo es de 360°
3.
La función cos(x) es periódica, pues su gráfica se repite cada 360°. Las funciones seno y coseno tiene que ser periódicas porque las coordenadas en el círculo unitario tiene que repetir cada vuelta del círculo es decir cada 360°
Es importante notar que en cada periodo la gráfica es exactamente igual. La siguiente función, por ejemplo, no es periódica:
En la siguiente aplicación podemos apreciar la conexión entre la gráfica de la funcion coseno y el punto de intersección del lado terminal del ángulo y el círculo unitiario. Observa que el periodo de la función coseno tiene que corresponder a una vuelta completa del círculo. Cuando se mide en grados el periodo es 360°
Cuando vamos a un parque de diversiones y nos subimos a una estrella, el movimiento de ésta es periódico,
pues el movimiento se repite una y otra vez. La siguiente aplicación muestra la gráfica de la altura a la
que está una persona que se encuentra en la estrella a través del tiempo.
Created by EDC in Maine staff for the Maine Learning Technology Initiative (MLTI). Adapted from tools by J. Lawlis
Para describir este movimiento periódico matemáticamente necesitamos una función cuyos valores se incrementen, luego disminuyan y repitan el patrón indefinidamente. En una forma similar, en esta lección, vamos a utilizar el círculo unitario para definir las funciones seno y coseno. Discutiremos las propiedades de estas funciones y analizaremos sus gráficas.
Para estudiar movimiento y localizaciones en círculos es conveniente fijarnos inicialmente en el círculo mas simple.
El círculo unitario es el círculo de radio 1, centrado en el origen en el plano cartesiano. Su ecuación es:
Hay muchas maneras de definir localizaciones en el círculo unitario. Vamos a comenzar definiendo una localizacion (x,y) en el círculo por el ángulo formado entre (x,y) y (0,0) y (0,0) y (1,0).
Como vimos en la sección anterior, existe una correspondencia entre un punto (x,y) del círculo unitario y el ángulo con vértice en el origen y puntos terminales (x, y) y (1, 0). Esta correspondencia nos permite definir las siguientes funciones:
La siguiente aplicación nos permite ver la localización asociada a un punto en el círculo unitario. Para ver las funciones sen(α) y cos(α) marca las casillas correspondientes.
La siguiente tabla muestra algunas propiedades importantes de las funciones seno y coseno. Te recomendamos
visitar cada una de ellas y estudiar la demostración de cada propiedad. Las vamos a usar más adelante.
Para cualquier punto (x, y) en el círculo unitario, podemos construir un triángulo rectángulo como se muestra en la gráfica de la izquierda. Note que los catetos corresponden a las coordenadas x y y del punto respectivamente. La hipotenusa es el radio del círculo unitario.
La siguiente tabla muestra las funciones seno y coseno de algunos ángulos. Te recomendamos visitarlos
para que conozcas mas detalles
En la figura, se ve claramente que el ángulo 0° está asociado con el punto (1, 0)
Por lo tanto:
y
Queremos obtener las coordenadas del punto asociado a 30°. Estas coordenadas coinciden con los lados el triángulo rectángulo mostrado en la figura.
Nota que como el radio del círculo unitario es 1, la hipotenusa del triángulo también debe ser igual a 1.
Reflejando el triángulo sobre uno de sus lados:
Como la suma de todos los ángulos del triángulo es 180°, los otros ángulos miden 60° y por lo tanto tenemos un triángulo equilátero.
Cada lado opuesto al ángulo de 30° mide ½
Ahora, ya sabemos que y es igual a ½. Para hallar x usaremos el teorema de Pitágoras:
Lo que significa que los lados de nuestro triángulo tienen las siguientes dimensiones:
De donde, podemos concluir que, el ángulo 30° está asociado con el punto
Por lo tanto:
y
Para obtener las coordenadas del punto asociado a 45°, vamos a trabajar con el triángulo rectángulo mostrado en la figura. Nota que como el radio del círculo unitario es 1, la hipotenusa del triángulo también debe ser igual a 1.
Todo triángulo rectángulo que tiene uno de sus ángulos igual a 45° es un triángulo isósceles, es decir, sus catetos tienen la misma dimensión.
Luego, por el teorema de Pitágoras:
Como a debe ser un valor positivo:
Lo que significa que los lados de nuestro triángulo tienen las siguientes dimensiones:
De donde, podemos concluir que, el ángulo 45° está asociado con el punto
Por lo tanto:
y
Queremos obtener las coordenadas del punto asociado a 60°. Estas coordenadas coinciden con los lados el triángulo rectángulo mostrado en la figura.
Nota que como el radio del círculo unitario es 1, la hipotenusa del triángulo también debe ser igual a 1.
Reflejando el triángulo sobre uno de sus lados.
Como la suma de todos los ángulos del triángulo es 180°, el otro ángulo tambien mide 60° y por lo tanto tenemos un triángulo equilátero.
Como es un triángulo equilátero, la base de ambos triángulos pequeños mide ½.
Ahora, ya sabemos que x es igual a ½. Para hallar y usaremos el teorema de Pitágoras:
Lo que significa que los lados del triángulo original tienen las siguientes dimensiones:
De donde, podemos concluir que, el ángulo 60° está asociado con el punto
Por lo tanto:
y
En la figura, se ve claramente que el ángulo 90° está asociado con el punto (0, 1)
Por lo tanto:
y
Notemos que:
Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:
y
Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 60° :
Por lo tanto:
y
Notemos que:
Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:
y
Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 45° :
Por lo tanto:
y
Notemos que:
Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:
y
Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 30° :
Por lo tanto:
y
En la figura, se ve claramente que el ángulo 180° está asociado con el punto (-1, 0)
Por lo tanto:
y
Notemos que:
Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:
y
Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 30° :
Por lo tanto:
y
Notemos que:
Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:
y
Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 45° :
Por lo tanto:
y
Notemos que:
Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:
y
Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 60° :
Por lo tanto:
y
En la figura, se ve claramente que el ángulo 270° está asociado con el punto (0, - 1)
Por lo tanto:
y
Notemos que:
Los ángulos 300° y 60° están asociados con la misma localización.
Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:
y
Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 60° :
Por lo tanto:
y
Notemos que:
Los ángulos 315° y 45° están asociados con la misma localización.
Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:
y
Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 45° :
Por lo tanto:
y
Notemos que:
Los ángulos 330° y 30° están asociados con la misma localización.
Por otro lado, en las propiedades que se describen en la sección anterior, vimos que:
y
Aplicando dichas propiedades y los resultados que obtuvimos para las funciones seno y coseno de 30° :
Por lo tanto:
y
Funciones Seno y Coseno
Haz click en cada uno de los ángulos
Gráfica
Demostración
Para practicar ejercicios sobre seno y coseno de ángulos especiales haz click en el siguiente botón